Calcule as integrais:
\int \tan ^{3}(x) \operatorname{sec} (x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \tan^{3}(x)\,\operatorname{sec}(x)\,dx
Isso envolve funções trigonométricas; vamos usar substituição e a identidade \tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)-1.

Passo 2

Escrevemos
\tan^{3}(x)\,\operatorname{sec}(x)=\tan^{2}(x)\,\bigl(\tan(x)\,\operatorname{sec}(x)\bigr)
e aplicamos \tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)-1, obtendo
\tan^{3}(x)\,\operatorname{sec}(x)=\bigl(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\bigr)\,\bigl(\tan(x)\,\operatorname{sec}(x)\bigr).

Passo 3

Fazemos a substituição u=\operatorname{sec}(x), de modo que
du=\operatorname{sec}(x)\,\tan(x)\,dx
e portanto \tan(x)\,\operatorname{sec}(x)\,dx=du. A integral vira
\int\bigl(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\bigr)\,\bigl(\tan(x)\,\operatorname{sec}(x)\,dx\bigr)=\int(u^{2}-1)\,du.

Passo 4

Integramos o polinômio em u:
\int(u^{2}-1)\,du=\frac{u^{3}}{3}-u+C.

Passo 5

Voltando à variável inicial ( u=\operatorname{sec}(x)), temos
\frac{\operatorname{sec}^{3}(x)}{3}-\operatorname{sec}(x)+C.

Resposta

\int \tan^{3}(x)\,\operatorname{sec}(x)\,dx=\frac{\operatorname{sec}^{3}(x)}{3}-\operatorname{sec}(x)+C.

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