Resolva equações exatas:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para resolvê-la. Embora possamos reconhecer uma equação linear de primeira ordem, vamos tratá-la como uma equação não exata e usar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma
de modo que
Uma equação
é exata se
. Aqui
logo não é exata.
Passo 3
Para tornar exata, buscamos um fator integrante
que dependa só de
. Se
depende apenas de
, então
Escolhemos
(supondo
).
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, temos
ou seja
onde
Agora verificamos que a equação é exata:
Passo 5
Por exatidão, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Passo 6
Derivando
em relação a
e igualando a
,
portanto
e
(constante).
Passo 7
A condição implícita de solução é
Multiplicando por
, obtemos
Resposta
onde
é constante arbitrária.