Resolva equações exatas:
x y^{\prime}-2 y=2 x^{4}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,\frac{dy}{dx}-2y=2x^{4}
e pede para resolvê-la. Embora possamos reconhecer uma equação linear de primeira ordem, vamos tratá-la como uma equação não exata e usar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma
x\,dy-2y\,dx-2x^{4}\,dx=0
de modo que
M(x,y)=-2y-2x^{4}, \quad N(x,y)=x.
Uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Aqui
\frac{\partial M}{\partial y}=-2, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=1,
logo não é exata.

Passo 3

Para tornar exata, buscamos um fator integrante \mu(x) que dependa só de x. Se
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} =\frac{-2-1}{x}=-\frac{3}{x}
depende apenas de x, então
\mu(x)=\exp\Bigl(\int -\frac{3}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-3\ln|x|) =|x|^{-3}.
Escolhemos \mu(x)=x^{-3} (supondo x\neq0).

Passo 4

Multiplicando a equação original por x^{-3}, temos
(-2y-2x^{4})\,x^{-3}\,dx + x\cdot x^{-3}\,dy =0,
ou seja
M^*(x,y)\,dx+N^*(x,y)\,dy=0,
onde
M^*(x,y)=-2y\,x^{-3}-2x, \quad N^*(x,y)=x^{-2}.
Agora verificamos que a equação é exata:
\frac{\partial M^*}{\partial y}=-2x^{-3}, \quad \frac{\partial N^*}{\partial x}=-2x^{-3}.

Passo 5

Por exatidão, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M^*(x,y), \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N^*(x,y).
Integramos M^* em relação a x:
\Psi(x,y) =\int\bigl(-2y\,x^{-3}-2x\bigr)\,dx =-2y\int x^{-3}dx-2\int x\,dx =-2y\bigl(-\tfrac12x^{-2}\bigr)-x^2+h(y)
=\;y\,x^{-2}-x^2+h(y).

Passo 6

Derivando \Psi em relação a y e igualando a N^*(x,y),
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =x^{-2}+h'(y) \overset{!}{=}x^{-2},
portanto h'(y)=0 e h(y)=C (constante).

Passo 7

A condição implícita de solução é
\Psi(x,y)=y\,x^{-2}-x^2=C.
Multiplicando por x^2, obtemos
y - x^4 = C\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad y = x^4 + C\,x^2.

Resposta

y(x)=x^{4}+C\,x^{2},
onde C é constante arbitrária.

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