Resolva equações com variáveis separáveis:
x e^{x^{2}} d x+\left(y^{5}-1\right) d y=0, y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,e^{x^{2}}\,dx + \bigl(y^{5}-1\bigr)\,dy = 0
com a condição inicial y(0)=0.
O conteúdo envolvido é equação de variáveis separáveis: podemos colocar todos os termos em y num lado e todos os termos em x no outro para integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
\bigl(y^{5}-1\bigr)\,dy = -\,x\,e^{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados.
Do lado esquerdo:
\int \bigl(y^{5}-1\bigr)\,dy = \int y^{5}\,dy \;-\;\int 1\,dy = \frac{y^{6}}{6} - y.
Do lado direito: fazemos u=x^{2}, então du=2x\,dx e x\,dx=\tfrac12\,du, logo
\int -x\,e^{x^{2}}\,dx = -\tfrac12 \int e^{u}\,du = -\tfrac12 e^{u} = -\tfrac12 e^{x^{2}}.
Incluindo a constante de integração C, obtemos
\frac{y^{6}}{6} - y = -\frac12\,e^{x^{2}} + C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0, y=0 na solução geral:
\frac{0^{6}}{6} - 0 = -\frac12 e^{0} + C \quad\Longrightarrow\quad 0 = -\frac12 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac12.

Passo 5

Substituindo C=\tfrac12 de volta, a solução particular implícita fica
\frac{y^{6}}{6} - y = -\frac12\,e^{x^{2}} + \frac12.

Resposta

\boxed{\frac{y^{6}}{6} - y = \frac12\bigl(1 - e^{x^{2}}\bigr).}

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