Calcule as integrais:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} v\left(u-v^{2}\right)^{4} d u d v

Passo 1

Estamos calculando a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}v\bigl(u - v^{2}\bigr)^{4}\,du\,dv.
O conteúdo usado é Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração (já dada), integração de polinômios e mudança de variável em integrais simples.

Passo 2

Vamos primeiro integrar em u, tratando v como constante. Para
\int_{0}^{1}(u - v^{2})^{4}\,du
fazemos a substituição
t = u - v^{2},\quad dt = du,
quando u=0 temos t=-v^{2} e quando u=1 temos t=1 - v^{2}. Logo,
\int_{0}^{1}(u - v^{2})^{4}\,du = \int_{-v^{2}}^{\,1-v^{2}}t^{4}\,dt = \left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{-v^{2}}^{\,1-v^{2}} = \frac{1}{5}\bigl[(1 - v^{2})^{5} - (-v^{2})^{5}\bigr].

Passo 3

Isso reduz a integral original a
\int_{0}^{1}v\cdot\frac{1}{5}\bigl[(1 - v^{2})^{5} + v^{10}\bigr]\,dv = \frac{1}{5}\biggl(\underbrace{\int_{0}^{1}v(1 - v^{2})^{5}dv}_{I_{1}} + \underbrace{\int_{0}^{1}v^{11}dv}_{I_{2}}\biggr).

Passo 4

Cálculo de I_{1}: use w=1-v^{2}, dw=-2v\,dv, limites de v=0\to1 viram w=1\to0.
I_{1} = \int_{0}^{1}v(1 - v^{2})^{5}dv = \int_{1}^{0}\!-\tfrac12 w^{5}dw = \tfrac12\int_{0}^{1}w^{5}dw = \tfrac12\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{12}.
Cálculo de I_{2}:
I_{2} = \int_{0}^{1}v^{11}dv = \left[\frac{v^{12}}{12}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{12}.

Passo 5

Somando I_{1}+I_{2} = \tfrac{1}{12}+\tfrac{1}{12}=\tfrac{1}{6} e multiplicando por \tfrac{1}{5}, obtemos
\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{30}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{30}

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