Determine:
\int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{y}}\left(-x y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{y}}\bigl(-x\,y^{2}\bigr)\,dx\,dy
O conteúdo é integração iterada de uma função polinomial em x e y. Vamos primeiro integrar em relação a x, tratando y como constante, e depois em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{\sqrt{y}}(-x\,y^{2})\,dx = -y^{2}\int_{0}^{\sqrt{y}}x\,dx = -y^{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{y}} = -y^{2}\cdot\frac{(\sqrt{y})^{2}}{2} = -\frac{y^{3}}{2}.

Passo 3

Substituir na integral em y e calcular:
\int_{0}^{4}\Bigl(-\tfrac{y^{3}}{2}\Bigr)\,dy = -\frac{1}{2}\int_{0}^{4}y^{3}\,dy = -\frac{1}{2}\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{4} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{4^{4}}{4} = -\frac{1}{2}\cdot64 = -32.

Resposta

-32

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