Calcule as integrais:
1
\int\left(\frac{2 x}{\sqrt{3-2 x-x^{2}}}+\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}+16}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida (uma única expressão a integrar). A função a integrar é a soma de duas parcelas. Escrevendo exatamente:
\int\left(\frac{2x}{\sqrt{3-2x-x^{2}}}+\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+16}}\right)\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • A integral é a soma de duas integrais; podemos integrar cada parcela separadamente e somar os resultados.
  • A primeira parcela tem a forma \dfrac{2x}{\sqrt{3-2x-x^{2}}}. O radicando é um polinômio quadrático em x que pode ser completado ao quadrado.
  • A segunda parcela tem a forma \dfrac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+16}}. O radicando dentro da raiz é x^{2}+16, sugerindo uma substituição trigonométrica do tipo x=a\tan\theta (ou uma substituição hiperbólica) com a=4.
  • Vamos portanto separar a integral em duas partes e resolver cada uma com a técnica apropriada.

Passo 2

Separando a integral em duas integrais:
\int\frac{2x}{\sqrt{3-2x-x^{2}}}\,dx \;+\; \int\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+16}}\,dx.
Vou resolver a primeira integral primeiro:
I_1=\int\frac{2x}{\sqrt{3-2x-x^{2}}}\,dx.
Primeiro simplifico o conteúdo da raiz completando o quadrado no polinômio 3-2x-x^{2}. Reescrevo:
3-2x-x^{2} = -(x^{2}+2x-3) = -\bigl((x+1)^{2}-4\bigr) = 4-(x+1)^{2}.
Assim a raiz fica \sqrt{4-(x+1)^{2}}. Faço a substituição de translação u=x+1, então x=u-1 e dx=du. A integral vira
I_1=\int\frac{2(u-1)}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du = 2\int\frac{u}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du \;-\; 2\int\frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du.
Agora uso duas integrais padrão:
  • Regra: \displaystyle \int\frac{u}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\,du = -\sqrt{a^{2}-u^{2}} + C. (Derivação rápida: derivada de -\sqrt{a^{2}-u^{2}} é u/\sqrt{a^{2}-u^{2}}.)
  • Regra: \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\,du = \arcsin\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Aplicando com a=2:
2\int\frac{u}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du = 2\bigl(-\sqrt{4-u^{2}}\bigr) = -2\sqrt{4-u^{2}},
-2\int\frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du = -2\arcsin\!\left(\frac{u}{2}\right).
Somando e voltando à variável x (lembrando u=x+1 e \sqrt{4-u^{2}}=\sqrt{3-2x-x^{2}}) obtemos:
I_1 = -2\sqrt{3-2x-x^{2}} \;-\; 2\arcsin\!\left(\frac{x+1}{2}\right) \;+\; C_1.

Passo 3

Agora resolvo a segunda integral:
I_2=\int\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+16}}\,dx.
Para integrais com \sqrt{x^{2}+a^{2}} é comum usar a substituição trigonométrica x=a\tan\theta. Aqui tomo x=4\tan\theta. Então:
dx = 4\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,\qquad \sqrt{x^{2}+16}=\sqrt{16\tan^{2}\theta+16}=4\operatorname{sec}\theta.
Substituindo:
x^{2}=16\tan^{2}\theta,\qquad x^{2}\sqrt{x^{2}+16}=16\tan^{2}\theta\cdot 4\operatorname{sec}\theta=64\tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta.
E
dx=4\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Portanto
I_2=\int\frac{4\operatorname{sec}^{2}\theta}{64\tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta}\,d\theta = \frac{1}{16}\int\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta}\,d\theta = \frac{1}{16}\int\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta.
Simplifico usando identidades trigonométricas. Escrevo \dfrac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta} em termos de \sin e \cos:
\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}=\frac{1/\cos\theta}{(\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta)}=\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}=\cot\theta\csc\theta.
Logo
I_2 = \frac{1}{16}\int\cot\theta\csc\theta\,d\theta.
Conhecida a primitiva: \displaystyle \int\cot\theta\csc\theta\,d\theta = -\csc\theta + C. Portanto
I_2 = -\frac{1}{16}\csc\theta + C_2.
Volto para x. Como x=4\tan\theta, temos \tan\theta=\dfrac{x}{4}. Para obter \csc\theta uso a relação entre \sin\theta e \tan\theta:
\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}} = \frac{x/4}{\sqrt{1+(x/4)^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+16}}.
Portanto
\csc\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+16}}{x}.
Substituindo em I_2:
I_2 = -\frac{1}{16}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+16}}{x} + C_2 = -\frac{\sqrt{x^{2}+16}}{16x} + C_2.

Passo 4

Agora somo as duas primitivas I_1 e I_2. A primitiva da integral original é
I = I_1 + I_2 = -2\sqrt{3-2x-x^{2}} \;-\; 2\arcsin\!\left(\frac{x+1}{2}\right) \;-\; \frac{\sqrt{x^{2}+16}}{16x} \;+\; C,
onde C é a constante de integração que absorve C_1 e C_2.

Resposta

-2\sqrt{3-2x-x^{2}} \;-\; 2\arcsin\!\left(\frac{x+1}{2}\right) \;-\; \frac{\sqrt{x^{2}+16}}{16x} \;+\; C

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