Calcule as integrais:
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Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida (uma única expressão a integrar). A função a integrar é a soma de duas parcelas. Escrevendo exatamente:
Informações relevantes que temos:
- A integral é a soma de duas integrais; podemos integrar cada parcela separadamente e somar os resultados.
- A primeira parcela tem a forma
. O radicando é um polinômio quadrático em que pode ser completado ao quadrado. - A segunda parcela tem a forma
. O radicando dentro da raiz é , sugerindo uma substituição trigonométrica do tipo (ou uma substituição hiperbólica) com . - Vamos portanto separar a integral em duas partes e resolver cada uma com a técnica apropriada.
Passo 2
Separando a integral em duas integrais:
Vou resolver a primeira integral primeiro:
Primeiro simplifico o conteúdo da raiz completando o quadrado no polinômio
. Reescrevo:
Assim a raiz fica
. Faço a substituição de translação
, então
e
. A integral vira
Agora uso duas integrais padrão:
- Regra:
. (Derivação rápida: derivada de é .) - Regra:
Aplicando com
:
Somando e voltando à variável
(lembrando
e
) obtemos:
Passo 3
Agora resolvo a segunda integral:
Para integrais com
é comum usar a substituição trigonométrica
. Aqui tomo
. Então:
Substituindo:
E
Portanto
Simplifico usando identidades trigonométricas. Escrevo
em termos de
e
:
Logo
Conhecida a primitiva:
. Portanto
Volto para
. Como
, temos
. Para obter
uso a relação entre
e
:
Portanto
Substituindo em
:
Passo 4
Agora somo as duas primitivas
e
. A primitiva da integral original é
onde
é a constante de integração que absorve
e
.