Calcule as integrais:
a)
b)
, onde
a)
b)
Passo 1
Vou separar claramente o que cada item pede e os dados que o enunciado nos dá.
Para o item (a):
- Integral iterada dada:
- As variáveis e seus limites são:
-
varia em (integração exterior), - para cada
, varia em , - para cada par
, varia em .
-
- O que é pedido: calcular o valor numérico desta integral (um número real).
Para o item (b):
- Região
dada por
e a integral a calcular é
- Os limites indicam que:
-
vai de a ; - para cada
, vai de a ; - para cada
, vai de a .
-
- O que é pedido: calcular o valor numérico da integral tripla sobre
.
Passo 2
(Dicas rápidas sobre a técnica que vou usar)
- Em integrais iteradas, quando se integra em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes naquele passo.
- Integração polinomial:
(para ), e integração linear em uma variável é direta. - Vou seguir a ordem dada nas integrais, integrando a variável mais interna primeiro (que costuma simplificar muito).
Agora começo a resolver o item (a).
Passo 3
Integral interna (em
) do item (a). Como a integração interna é em
e a integrando é
, nesse passo
e
são constantes. Portanto:
Expliquei: multiplica-se
pelo comprimento do intervalo de
, que é
.
Passo 4
Agora integro em
de
a
a expressão obtida. Temos
Para facilitar, trato
como constante e expando o integrando:
Integro termo a termo usando a fórmula da potência:
Avalio em
:
Observe que a simplificação usou
e
.
Passo 5
Agora a integral externa (em
) do item (a) fica
Aplicando a fórmula da potência novamente:
Portanto o cálculo do item (a) está completo (todo o processo foi feito integrando em
, depois
, depois
).
Passo 6
Agora resolvo o item (b). Primeiro interpretar geometricamente os limites (útil para entender a integral):
- Os limites em
e satisfazem e . Isso corresponde à parte do disco de raio com e ; ou seja, um quarto de disco (primeiro quadrante) de raio no plano . - Para cada
nessa base, varia de a , isto é, a altura vertical do sólido é . - A ordem dada (
, depois , depois ) é conveniente porque a integral em será imediata.
Escrevendo a integral com a ordem indicada:
Passo 7
Integro em
primeiro. Como
não depende de
, temos
Explicação: multiplicou-se
pela largura do intervalo em
, que é
.
Passo 8
Agora integro em
com
tratado como constante:
Usando
, obtemos
Detalhe:
.
Passo 9
Finalmente integro em
de
a
:
Integro termo a termo:
Subtraindo,
Assim a integral do item (b) foi calculada por etapas: integrar em
, depois em
, depois em
.
Resposta
a)
b)