Calcule as integrais:
a) \int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{x+z} 6 x z d y d x d z
b) \iiint_{E} 2 x . d V, onde E=\left\{(x, y, z) \mid 0 \leq y \leq 2 ; 0 \leq x \leq \sqrt{4-y^{2}} ; 0 \leq z \leq y\right\}

Passo 1

Vou separar claramente o que cada item pede e os dados que o enunciado nos dá.
Para o item (a):
  • Integral iterada dada:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\int_{0}^{x+z} 6 x z \, dy \, dx \, dz.
  • As variáveis e seus limites são:
    • z varia em [0,1] (integração exterior),
    • para cada z, x varia em [0,z],
    • para cada par (x,z), y varia em [0,x+z].
  • O que é pedido: calcular o valor numérico desta integral (um número real).
Para o item (b):
  • Região E dada por
E=\{(x,y,z)\mid 0\le y\le 2,\; 0\le x\le \sqrt{4-y^{2}},\; 0\le z\le y\},
e a integral a calcular é
\iiint_{E} 2x \, dV.
  • Os limites indicam que:
    • y vai de 0 a 2;
    • para cada y, x vai de 0 a \sqrt{4-y^{2}};
    • para cada (x,y), z vai de 0 a y.
  • O que é pedido: calcular o valor numérico da integral tripla sobre E.

Passo 2

(Dicas rápidas sobre a técnica que vou usar)
  • Em integrais iteradas, quando se integra em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes naquele passo.
  • Integração polinomial: \displaystyle \int a x^{n}\,dx = a\frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1), e integração linear em uma variável é direta.
  • Vou seguir a ordem dada nas integrais, integrando a variável mais interna primeiro (que costuma simplificar muito).
Agora começo a resolver o item (a).

Passo 3

Integral interna (em y) do item (a). Como a integração interna é em y e a integrando é 6 x z, nesse passo x e z são constantes. Portanto:
\int_{0}^{x+z} 6 x z \, dy = 6 x z \cdot \bigl[(y)\bigr]_{0}^{x+z} = 6 x z (x+z).
Expliquei: multiplica-se 6xz pelo comprimento do intervalo de y, que é x+z-0=x+z.

Passo 4

Agora integro em x de 0 a z a expressão obtida. Temos
\int_{0}^{z} 6 x z (x+z) \, dx.
Para facilitar, trato z como constante e expando o integrando:
6 x z (x+z) = 6 z (x^2 + x z).
Integro termo a termo usando a fórmula da potência:
\int_{0}^{z} 6 z (x^2 + x z)\,dx = 6 z \left[ \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2} z}{2} \right]_{0}^{z}.
Avalio em x=z:
6 z \left( \frac{z^{3}}{3} + \frac{z^{3}}{2} \right) = 6 z \cdot z^{3} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = 6 z^{4} \cdot \frac{5}{6} = 5 z^{4}.
Observe que a simplificação usou \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6} e 6\cdot \dfrac{5}{6}=5.

Passo 5

Agora a integral externa (em z) do item (a) fica
\int_{0}^{1} 5 z^{4} \, dz.
Aplicando a fórmula da potência novamente:
\int_{0}^{1} 5 z^{4} \, dz = 5 \left[ \frac{z^{5}}{5} \right]_{0}^{1} = \left[ z^{5} \right]_{0}^{1} = 1.
Portanto o cálculo do item (a) está completo (todo o processo foi feito integrando em y, depois x, depois z).

Passo 6

Agora resolvo o item (b). Primeiro interpretar geometricamente os limites (útil para entender a integral):
  • Os limites em x e y satisfazem 0\le y\le 2 e 0\le x\le \sqrt{4-y^{2}}. Isso corresponde à parte do disco de raio 2 com x\ge 0 e y\ge 0; ou seja, um quarto de disco (primeiro quadrante) de raio 2 no plano xy.
  • Para cada (x,y) nessa base, z varia de 0 a y, isto é, a altura vertical do sólido é y.
  • A ordem dada ( z, depois x, depois y) é conveniente porque a integral em z será imediata.
Escrevendo a integral com a ordem indicada:
\iiint_{E} 2x \, dV = \int_{y=0}^{2} \int_{x=0}^{\sqrt{4-y^{2}}} \int_{z=0}^{y} 2x \, dz \, dx \, dy.

Passo 7

Integro em z primeiro. Como 2x não depende de z, temos
\int_{0}^{y} 2x \, dz = 2x \cdot \bigl[z\bigr]_{0}^{y} = 2x y.
Explicação: multiplicou-se 2x pela largura do intervalo em z, que é y.

Passo 8

Agora integro em x com y tratado como constante:
\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} 2x y \, dx = 2y \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} x \, dx.
Usando \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, obtemos
2y \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} = y \left[ x^{2} \right]_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} = y \bigl(4 - y^{2}\bigr).
Detalhe: \bigl(\sqrt{4-y^{2}}\bigr)^{2} = 4-y^{2}.

Passo 9

Finalmente integro em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2} y (4 - y^{2}) \, dy = \int_{0}^{2} (4y - y^{3}) \, dy.
Integro termo a termo:
\int_{0}^{2} 4y \, dy = 4 \left[ \frac{y^{2}}{2} \right]_{0}^{2} = 4 \cdot 2 = 8,
\int_{0}^{2} y^{3} \, dy = \left[ \frac{y^{4}}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{16}{4} = 4.
Subtraindo,
8 - 4 = 4.
Assim a integral do item (b) foi calculada por etapas: integrar em z, depois em x, depois em y.

Resposta

a) \;1
b) \;4

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