Nos problemas 32 a 35, determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular \mathrm{P}^{-1} \mathrm{~A} \mathrm{P}.
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}5 & 3 \\\\ 3 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • Determinar uma matriz P que diagonalize A ortogonalmente.
  • Calcular \mathrm{P}^{-1} \mathrm{A}\mathrm{P}.
As informações relevantes dadas são os elementos de A: a_{11}=5, a_{12}=a_{21}=3, a_{22}=5. A tarefa é encontrar P ortogonal e a matriz diagonal resultante.]

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Para diagonalizar ortogonalmente, precisamos de uma matriz P cujas colunas sejam um sistema ortonormal de autovetores de A. Se A for simétrica (isto é, A^T=A), então existe tal P ortogonal com P^{-1}=P^T e
P^{-1}AP=P^TAP=D,
onde D é diagonal com os autovalores de A na diagonal.
  • Para encontrar autovalores, resolvemos o problema de autovalores Av=\lambda v, que leva ao polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
  • Para cada autovalor \lambda obtemos um espaço próprio (autovetores) resolvendo (A-\lambda I)v=0.
  • Depois normalizamos os autovetores e os colocamos como colunas de P. Como A é simétrica, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais automaticamente.
Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular os autovalores: montamos o determinante \det(A-\lambda I).
A-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & 3\\[4pt] 3 & 5-\lambda\end{pmatrix}
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)^2-3\cdot 3=(5-\lambda)^2-9.
Expandindo,
(5-\lambda)^2-9=25-10\lambda+\lambda^2-9=\lambda^2-10\lambda+16.
Agora resolvemos \lambda^2-10\lambda+16=0. O discriminante é
\Delta=(-10)^2-4\cdot 1\cdot 16=100-64=36.
As raízes são
\lambda=\frac{10\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{10\pm 6}{2}.
Portanto os autovalores são
\lambda_1=8\quad\text{e}\quad \lambda_2=2.]

Passo 4

Encontrar autovetores correspondentes.
Para \lambda_1=8, resolvemos (A-8I)v=0:
A-8I=\begin{pmatrix}5-8 & 3\\[4pt] 3 & 5-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 3\\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix}.
A equação (A-8I)\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}=0 -3x+3y=0, isto é y=x.
Um autovetor associado é, por exemplo,
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=2, resolvemos (A-2I)v=0:
A-2I=\begin{pmatrix}5-2 & 3\\[4pt] 3 & 5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}.
A equação 3x+3y=0 y=-x.
Um autovetor associado é, por exemplo,
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificar ortogonalidade e normalizar (construir P ortogonal):
  • Produto interno de v_1 e v_2:
v_1\cdot v_2=\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=1-1=0.
Então v_1 e v_2 são ortogonais, como prometido para matriz simétrica com autovalores distintos.
  • Normas:
\|v_1\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},\qquad \|v_2\|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
  • Vetores normalizados (vetores unitários):
u_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix},\qquad u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Colocando-os como colunas de P (ordem escolhida: primeiro autovetor de \lambda_1=8, depois o de \lambda_2=2), obtemos
P=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Mostrar que P é ortogonal e portanto P^{-1}=P^T.
Cálculo rápido de P^TP:
P^T=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
(observe que P é sua própria transposta nesse caso particular até a ordem).
P^TP=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}=I.
Portanto P é ortogonal e P^{-1}=P^T.]

Passo 7

Calcular \;P^{-1}AP=P^TAP e identificar a matriz diagonal.
Uma maneira conceitual e rápida: cada coluna de P é um autovetor unitário de A. Logo
A u_1=\lambda_1 u_1=8u_1,\qquad A u_2=\lambda_2 u_2=2u_2.
Isto implica diretamente que
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}8 & 0\\[6pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Se preferir ver por multiplicação: AP tem como colunas A u_1 e A u_2, que são 8u_1 e 2u_2; multiplicando pela esquerda por P^T projeta sobre a base ortonormal e coloca esses valores na diagonal.]

Passo 8

Interpretação final e dica prática para a prova:
  • Sempre que A for simétrica, procure autovalores pelo polinômio característico e autovetores ortogonais; normalize-os e monte P.
  • Como P é ortogonal, evita-se calcular inversa: use P^{-1}=P^T.
  • Aqui os autovalores distintos produziram autovetores já ortogonais, o que simplifica bastante.

Resposta

P=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}8 & 0\\[6pt]0 & 2\end{pmatrix}

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