Nos problemas 32 a 35, determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular \mathrm{P}^{-1} \mathrm{~A} \mathrm{P}. \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}5 & 3 \\\\ 3 & 5\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
Determinar uma matriz P que diagonalize A ortogonalmente.
Calcular \mathrm{P}^{-1} \mathrm{A}\mathrm{P}.
As informações relevantes dadas são os elementos de A: a_{11}=5, a_{12}=a_{21}=3, a_{22}=5. A tarefa é encontrar P ortogonal e a matriz diagonal resultante.]
Passo 2
Explicação do método que vamos usar (passo-a-passo didático):
Para diagonalizar ortogonalmente, precisamos de uma matriz P cujas colunas sejam um sistema ortonormal de autovetores de A. Se A for simétrica (isto é, A^T=A), então existe tal P ortogonal com P^{-1}=P^T e
P^{-1}AP=P^TAP=D,
onde D é diagonal com os autovalores de A na diagonal.
Para encontrar autovalores, resolvemos o problema de autovalores Av=\lambda v, que leva ao polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Para cada autovalor \lambda obtemos um espaço próprio (autovetores) resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Depois normalizamos os autovetores e os colocamos como colunas de P. Como A é simétrica, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais automaticamente.
Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular os autovalores: montamos o determinante \det(A-\lambda I).
Se preferir ver por multiplicação: AP tem como colunas A u_1 e A u_2, que são 8u_1 e 2u_2; multiplicando pela esquerda por P^T projeta sobre a base ortonormal e coloca esses valores na diagonal.]
Passo 8
Interpretação final e dica prática para a prova:
Sempre que A for simétrica, procure autovalores pelo polinômio característico e autovetores ortogonais; normalize-os e monte P.
Como P é ortogonal, evita-se calcular inversa: use P^{-1}=P^T.
Aqui os autovalores distintos produziram autovetores já ortogonais, o que simplifica bastante.