Exemplo 4: Calcule as transformadas inversas abaixo.
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)(s+2)}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)(s+2)}\right\}.
Informações dadas:
  • A função no domínio de s é F(s)=\dfrac{1}{(s-1)(s+2)}.
  • O objetivo é encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) (para t\ge 0).

Passo 2

Lembretes importantes (fórmulas que vamos usar) — vou explicar bem devagar:
  • Definição útil: a transformada de Laplace da função exponencial \,e^{at}\, é
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},
para valores de s com parte real maior que a. Aqui t é a variável do tempo (tempo real, t\ge 0) e s é a variável complexa da transformada.
  • Linearidade: a transformada inversa é linear, isto é, se
F(s)=c_1 F_1(s)+c_2 F_2(s),
então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=c_1\mathcal{L}^{-1}\{F_1(s)\}+c_2\mathcal{L}^{-1}\{F_2(s)\}.
Essas duas ideias bastam aqui: vamos escrever F(s) como soma de termos do tipo 1/(s-a) e aplicar a transformada inversa termo a termo.

Passo 3

Estratégia: decompor F(s) em frações parciais na forma
\frac{1}{(s-1)(s+2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2},
onde A e B são constantes a determinar. Depois aplicamos \mathcal{L}^{-1} a cada termo usando \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}.

Passo 4

Fazendo a decomposição:
\frac{1}{(s-1)(s+2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+2) obtemos
1 = A(s+2)+B(s-1).
Agora determinamos A e B. Método rápido: escolher valores de s que anulem um dos fatores.
  • Tomando s=1:
1 = A(1+2)+B(1-1) \quad\Rightarrow\quad 1 = 3A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{3}.
  • Tomando s=-2:
1 = A(-2+2)+B(-2-1) \quad\Rightarrow\quad 1 = -3B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{3}.
Logo
\frac{1}{(s-1)(s+2)}=\frac{1/3}{s-1}-\frac{1/3}{s+2}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at} e a linearidade:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1/3}{s-1}\right\}=\frac{1}{3}e^{t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1/3}{s+2}\right\}=\frac{1}{3}e^{-2t}.
Como o segundo sinal é negativo (temos -\frac{1}{3}/(s+2)), combinando:
f(t)=\frac{1}{3}e^{t}-\frac{1}{3}e^{-2t}=\frac{1}{3}\bigl(e^{t}-e^{-2t}\bigr),\quad t\ge 0.
(Pronto — aqui está a função temporal cuja transformada de Laplace é F(s).)

Resposta

\dfrac{1}{3}e^{t}-\dfrac{1}{3}e^{-2t}

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