Exemplo 4: Calcule as transformadas inversas abaixo.
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa
Informações dadas:
- A função no domínio de
é . - O objetivo é encontrar
tal que (para ).
Passo 2
Lembretes importantes (fórmulas que vamos usar) — vou explicar bem devagar:
- Definição útil: a transformada de Laplace da função exponencial
é
para valores de
com parte real maior que
. Aqui
é a variável do tempo (tempo real,
) e
é a variável complexa da transformada.
- Linearidade: a transformada inversa é linear, isto é, se
então
Essas duas ideias bastam aqui: vamos escrever
como soma de termos do tipo
e aplicar a transformada inversa termo a termo.
Passo 3
Estratégia: decompor
em frações parciais na forma
onde
e
são constantes a determinar. Depois aplicamos
a cada termo usando
.
Passo 4
Fazendo a decomposição:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora determinamos
e
. Método rápido: escolher valores de
que anulem um dos fatores.
- Tomando
:
- Tomando
:
Logo
Passo 5
Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando
e a linearidade:
Como o segundo sinal é negativo (temos
), combinando:
(Pronto — aqui está a função temporal cuja transformada de Laplace é
.)