Resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty. x^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}-2 & 1 \\\\ -5 & 4\end{array}\right) x, \quad x(0)=\binom{1}{3}
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de ODEs com condição inicial e pede duas coisas: resolver o problema de valor inicial e descrever o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty. As informações fornecidas são:
A condição inicial é \displaystyle x(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática): para sistemas lineares constantes como \displaystyle x'=Ax, uma técnica padrão e muito prática é buscar soluções do tipo \displaystyle x(t)=v e^{\lambda t}, onde v é um vetor constante e \lambda um escalar. Substituindo nessa forma obtemos
\lambda v e^{\lambda t}=A v e^{\lambda t}\quad\Rightarrow\quad (A-\lambda I)v=0.
Isto é, \lambda e v devem ser autovalores e autovetores da matriz A. Cada par (\lambda,v) fornece uma solução v e^{\lambda t}. Se conseguirmos dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, a combinação linear dessas soluções gera a solução geral do sistema. Essa abordagem é diagonalização / solução por autovalores — é a mais direta aqui porque A é 2\times2 e costuma dar conta com contas simples.
Passo 3
Calcular os autovalores (passo-a-passo): os autovalores são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Compute:
A equação -v_1+v_2=0 dá v_2=v_1. Escolhendo v_1=1, um autovetor é
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Os dois autovetores são linearmente independentes (pois não são múltiplos um do outro), então geram a base necessária.]
Passo 5
Escrever a solução geral e aplicar a condição inicial (explicação): como temos dois autovalores distintos e dois autovetores independentes, a solução geral é
Verificação rápida em t=0: x_1(0)=\tfrac{1}{2}(1+1)=1, x_2(0)=\tfrac{1}{2}(5+1)=3. Está coerente com a condição inicial.]
Passo 8
Descrever o comportamento quando t\rightarrow\infty (intuição e justificativa): a solução é soma de duas partes: uma que escala como e^{3t} (taxa de crescimento positiva) e outra que escala como e^{-t} (decai para zero). Como e^{3t} cresce muito mais rápido que e^{-t} decai, para grandes t a solução é dominada pelo termo associado ao autovalor \lambda_1=3. Assim
Em palavras: x(t) diverge exponencialmente para o infinito com taxa 3 e sua direção no espaço tende para a direção do autovetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}. O sistema é instável porque existe um autovalor positivo.]
Quando t\to\infty, x(t)\sim \dfrac{1}{2}e^{3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}, ou seja, diverge exponencialmente na direção \begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}.]