Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de 23 integrais definidas envolvendo técnicas como primitiva de polinômios, potências, substituições lineares e não lineares, integração por partes, integrais trigonométricas e tratamento de valor absoluto.
Passo 2
Para as integrais polinomiais (1) e (2) basta expandir e usar a primitiva de cada termo: ∫x(1+x³)dx=∫(x+x⁴)dx e ∫(x²−4x+7)dx. Isso dá I₁=[x²/2+x⁵/5]{−1}^2=81/10 e I₂=[x³/3−2x²+7x]{−3}^0=48.
Passo 3
As integrais de potências simples (3), (4), (18) e (19) usam ∫x^n dx=x^{n+1}/(n+1). Fazendo as contas: I₃=∫₁²x^{−6}dx=31/160; I₄=∫₄⁹2t√t dt=844/5; I₁₈=∫₀⁴(2x+1)^{−1/2}dx=2; I₁₉=∫₀²√2·x(√x+√5)dx=16/5+2√10.
Passo 4
Para as substituições lineares (5) e (13) com u=ax+b: em (5) u=3y+1 dá I₅=2/3; em (13) u=2x−1 dá I₁₃=26/3.
Passo 5
As integrais trigonométricas (6), (16), (17) e (8): em (6) use u=sinx; em (16) use identidade sen²x=(1−cos2x)/2; em (17) u=1+sinx; em (8) observe a simetria de |senx|. Os resultados são I₆=0; I₁₆=π/4; I₁₇=15/64; I₈=4.
Passo 6
Para valor absoluto de polinômios (9) e (10) você determina os zeros e separa os intervalos: I₉=∫_{−2}^5|2t−4|dt=25 e I₁₀=∫₀⁴|x²−3x+2|dx=17/3.
Passo 7
Nas substituições para raízes cúbicas e de soma de quadrados (7), (11) e (12): em (7) u=x³+9; em (11) use ∫dx/√(x²+9)=arsinh(x/3); em (12) u=v³−2. Assim I₇=2/3(√10−√8); I₁₁=4 ln3; I₁₂=2/15.
Passo 8
Para as substituições em (14) e (15): em (14) u=√x; em (15) u=1+x. Encontramos I₁₄=5/36 e I₁₅=116/15.
Passo 9
As integrais racionais e por partes (20) a (23): (20) dividir por x²; (21) usar partes com u=lnx, dv=x dx; (22) expandir (t−1/t)²; (23) divisão polinomial. Resultam I₂₀=31/2−5 ln2; I₂₁=2 ln2−3/4; I₂₂=9/2; I₂₃=−16/3.
Resposta
I₁=81/10; I₂=48; I₃=31/160; I₄=844/5; I₅=2/3; I₆=0; I₇=\tfrac{2}{3}(√10−√8); I₈=4; I₉=25; I₁₀=17/3; I₁₁=4\ln3; I₁₂=2/15; I₁₃=26/3; I₁₄=5/36; I₁₅=116/15; I₁₆=π/4; I₁₇=15/64; I₁₈=2; I₁₉=16/5+2√10; I₂₀=31/2−5\ln2; I₂₁=2\ln2−3/4; I₂₂=9/2; I₂₃=−16/3