Nas integrais a seguir, podemos calcular seus respectivos valores utilizando uma integração por partes. Em cada uma delas, determine os candidatos a u e d v para que a utilização da referida técnica esteja correta. Após isso, escreva a fórmula da integração por partes com a sua escolha feita anteriormente.
integral arccos theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a técnica de integração por partes na integral integral arccostheta,dtheta. O conteúdo é integração por partes, e vamos precisar escolher funções u e dv de modo que saibamos facilmente derivar u e integrar dv.

Passo 2

Escolhemos como candidato a u a parte que se complica ao derivar, ou seja, u=arccostheta, e como dv o resto, isto é, dv = dtheta. Essa escolha é natural porque sabemos a derivada de arccostheta.

Passo 3

Derivamos u e integramos dv:
du = -1raiz1-theta^2,dtheta,
v = integral dtheta = theta

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes integral u,dv = u v - integral v,du com nossa escolha:
integral arccostheta,dtheta = underbracetheta,arccosthetau v;- integral underbracethetav;underbracel(-1raiz1-theta^2r),dthetadu

Resposta

integral arccostheta,dtheta = theta,arccostheta + integral thetaraiz1-theta^2,dtheta

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