Determine o volume do sólido delimitado por uma casca esférica de raio 2 , centrada na origem, e o plano z=1.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido limitado pela esfera de equação x^2 + y^2 + z^2 = 4 (raio 2) e pelo plano z = 1. O conteúdo envolve integração em coordenadas cilíndricas para calcular volumes.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), a esfera impõe z <= raiz4 - r^2 e o plano impõe z >= 1. A projeção no plano xy é o disco r <= raiz3. Assim:
V = integral0^2pi integral0^raiz3 integral1^raiz4 - r^2 r ,dz,dr,dtheta
Integrando em z:
V = 2pi integral0^raiz3 l(raiz4 - r^2 - 1r),r,dr

Passo 3

Para separar a integral, definimos
I1 = integral0^raiz3 rraiz4 - r^2,dr
Usando a substituição u = 4 - r^2, du = -2r,dr, obtemos
I1 = integralu=4^u=1 -tfrac12 raizu,du = tfrac12 integral1^4 u^1/2,du = tfrac12 cdot tfrac23l(u^3/2r)|1^4 = tfrac13(8 - 1) = tfrac73

Passo 4

Em seguida,
I2 = integral0^raiz3 r,dr = tfrac12r^2 |0^raiz3 = tfrac32

Passo 5

Finalmente,
V = 2pil(I1 - I2r) = 2pil(tfrac73 - tfrac32r) = 2pi cdot tfrac56 = tfrac5pi3

Resposta

5pi3

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