Calcule as integrais:
integral(2+5 x) e^13 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma função que é um polinômio ( ) multiplicado por uma função exponencial ( ). Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada integração por partes. É como se estivéssemos desmontando a integral em partes menores para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada e como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos escolher:
u = 2 + 5x e dv = e^13 x , dx
Agora, precisamos calcular du = ddx(2 + 5x) , dx = 5 , dx e v = integral e^13 x , dx = 3 e^13 x .
Derivando :
Integrando para encontrar :
(Lembra que )

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral (2 + 5x) e^13 x , dx = uv - integral v , du
= (2 + 5x)(3 e^13 x) - integral 3 e^13 x cdot 5 , dx
= 3(2 + 5x) e^13 x - 15 integral e^13 x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a nova integral integral e^13 x , dx = 3 e^13 x + C :
3(2 + 5x) e^13 x - 15 cdot 3 e^13 x + C
Então, substituindo de volta:
= 3(2 + 5x) e^13 x - 45 e^13 x + C

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
3(2 + 5x) e^13 x - 45 e^13 x = [6 + 15x - 45] e^13 x
= (15x - 39) e^13 x

Resposta

A integral (15x - 39) e^13 x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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