Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral de em relação a
. Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas inversas e integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções que somos capazes de integrar e derivar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, vamos encontrar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a integral resultante:
Para resolver essa integral, podemos usar outra integração por partes. Vamos definir:
Passo 6
Calculando
e
:
Para encontrar
, integramos
:
Fazendo a substituição
,
, então:
Passo 7
Aplicando novamente a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 8
A integral
é simples:
Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Voltando à nossa expressão anterior:
Simplificando:
Resposta
A integral de em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.