Calcule as integrais:
integral arcsen^2(x) d x

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de em relação a . Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas inversas e integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções que somos capazes de integrar e derivar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

Vamos definir:
Agora, vamos encontrar u = arcsen^2(x) e dv = dx e du = 2 arcsen(x) cdot 1raiz1 - x^2 , dx (usando a regra do diferencial para arcsen(x)) :
v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a integral resultante:
Para resolver essa integral, podemos usar outra integração por partes. Vamos definir:

Passo 6

Calculando du = 1raiz1 - x^2 , dx e v = integral xraiz1 - x^2 , dx :
v = -12 raiz1 - x^2
Para encontrar , integramos :
Fazendo a substituição , , então:

Passo 7

Aplicando novamente a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 8

A integral integral dx = x é simples:
- 12 arcsen(x) raiz1 - x^2 + 12 x + C
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando à nossa expressão anterior:
Simplificando:

Resposta

A integral de em relação a integral arcsen^2(x) , dx = x arcsen^2(x) + arcsen(x) raiz1 - x^2 - x + C é:
Onde é a constante de integração.

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