Calcule as áreas entre as curvas:
(e) Determine a área entre as curvas y = e^x e y = x + 2 no intervalo x in [0,1].

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é calcular a área entre as curvas e no intervalo de entre 0 e 1. Vamos usar um pouco de cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir qual das duas funções está por cima no intervalo de que a gente está olhando, que é de 0 a 1. Isso é importante porque, na hora de calcular a área entre elas, a gente vai subtrair a função que está embaixo da que está em cima.

Passo 3

Vamos avaliar as duas funções nos extremos do intervalo.
  • Quando :
    • Aqui, está acima de .
  • Quando :
    • Ainda, está acima de .
Então, no intervalo de 0 a 1, a função está sempre acima de .

Passo 4

Agora, para achar a área entre as duas curvas, a gente vai calcular a integral da função de cima menos a função de baixo, de até . Ou seja:
Á

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, separamos a integral:
Á
Calculando cada parte:
  1. Integral de :
  1. Integral de 2:
  1. Integral de :

Passo 6

Agora, somamos as integrais das funções de cima:
E subtraímos a integral da função de baixo:
Á
Aproximando o valor de :
Á

Resposta

A área entre as curvas e no intervalo é aproximadamente 0,782 unidades de área.

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