Para esse exercício, pegaremos algumas integrais já calculadas anteriormente, porém agora definidas.
integral1^5 ln (R)R^2 d R

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral1^5 ln (R)R^2 , dR. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar partes da função que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral que correspondem a u e dv na fórmula da integração por partes. Escolhemos:
u = ln(R) e dv = 1R^2 , dR

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas e integrais correspondentes a u e dv:
du = 1R , dR e v = integral 1R^2 , dR = -1R

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo as expressões que encontramos:
integral ln(R)R^2 , dR = -ln(R)R - integral (-1R cdot 1R) , dR = -ln(R)R + integral 1R^2 , dR

Passo 5

Calculamos a integral restante:
integral 1R^2 , dR = -1R + C
Assim, a integral indefinida fica:
integral ln(R)R^2 , dR = -ln(R)R - 1R + C

Passo 6

Aplicamos os limites de integração de 1 a 5:
[ -ln(R)R - 1R ]1^5 = ( -ln(5)5 - 15 ) - ( -ln(1)1 - 11 )
Como ln(1) = 0, simplificamos:
= ( -ln(5)5 - 15 ) - (-1) = -ln(5) + 15 + 1 = 1 - 1 + ln(5)5 = 5 - 1 - ln(5)5 = 4 - ln(5)5

Resposta

A integral definida é igual a boxeddfrac4 - ln(5)5.

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