Calcule as integrais:
integral 6 arctan (8omega) d omega

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse é um exercício de Cálculo Integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da função vão ser e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e . Aqui, uma boa escolha é deixar e . Isso porque a derivada de vai simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddomega[arctan(8omega)] domega e du = 11 + (8omega)^2 cdot (-8omega^2) domega = -8omega^2 + 64 domega :
  • Derivada de v = integral 6 domega = 6omega :
    Usando a regra da cadeia:
  • Integral de para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral 6 arctan(8omega) domega = 6omega cdot arctan(8omega) - integral 6omega cdot (-8omega^2 + 64) domega

Passo 5

Simplificando a integral restante:
6omega cdot arctan(8omega) + 48 integral omegaomega^2 + 64 domega
Agora, vamos resolver . Aqui, uma substituição simples funciona bem.

Passo 6

Vamos fazer a substituição integral omegaomega^2 + 64 domega = 12 integral 1t dt = 12 ln|t| + C = 12 ln(omega^2 + 64) + C , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
6omega cdot arctan(8omega) + 48 cdot 12 ln(omega^2 + 64) + C = 6omega cdot arctan(8omega) + 24 ln(omega^2 + 64) + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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