Esse exercício é dividido em duas partes.
Parte 2: Use a fórmula de redução da Parte 1 para mostrar que
integral0^pi2 sen^n(x) d x=n-1n integral0^pi2 sen^n-2(x) d x
a) Use a Parte 2 para calcular integral0^pi2 sen^3(x) d x e integral0^pi2 sen^5(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa parte do exercício juntos! A questão pede para usarmos a fórmula de redução que foi feita na Parte 1 para calcular as integrais de e no intervalo de a . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de potências de funções trigonométricas, e vamos precisar aplicar a fórmula de redução que relaciona a integral de com a de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a fórmula de redução fornecida:
integral0^pi2 sin^n(x) , dx = n-1n integral0^pi2 sin^n-2(x) , dx
Isso significa que podemos reduzir a potência de de para multiplicando pela fração .

Passo 3

Vamos calcular integral0^pi2 sin^3(x) , dx = 3-13 integral0^pi2 sin^1(x) , dx = 23 integral0^pi2 sin(x) , dx .
Aqui, 23 [ -cos(x) ]0^pi2 = 23 ( -cos(pi2) + cos(0) ) = 23 (0 + 1) = 23 . Aplicando a fórmula:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular integral0^pi2 sin^5(x) , dx = 5-15 integral0^pi2 sin^3(x) , dx = 45 cdot 23 = 815 .
Aqui, . Aplicando a fórmula de redução:

Resposta

Portanto, temos que:
integral0^pi2 sin^3(x) , dx = 23 e integral0^pi2 sin^5(x) , dx = 815

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