Calcule as integrais:
integral cos (pi x) cos (4 pi x) d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral de cos(pi x) cos(4pi x) ,dx. Isso está na área de cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de cossenos em soma de cossenos, o que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a fórmula do produto de cossenos:
cos A cos B = cos(A + B) + cos(A - B)2
Aqui, cos(pi x) cos(4pi x) = cos(5pi x) + cos(-3pi x)2 e cos(pi x) cos(4pi x) = cos(5pi x) + cos(3pi x)2 . Então,
Como , simplificamos para:

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral cos(pi x) cos(4pi x) ,dx = 12 integral cos(5pi x) + cos(3pi x) ,dx
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de integral cos(5pi x) ,dx = sin(5pi x)5pi é integral cos(3pi x) ,dx = sin(3pi x)3pi .
Integral de :
Integral de :

Passo 4

Juntando tudo, temos:
12 ( sin(5pi x)5pi + sin(3pi x)3pi ) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

sin(5pi x)10pi + sin(3pi x)6pi + C

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