Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
y=sen x e y=-sen x, x in[0,2 pi] ;

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar a área entre as curvas y = sen x e y = sen x no intervalo x ∈ [0, 2π]. O conteúdo é área entre curvas e vamos precisar identificar os pontos de interseção e usar integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, achamos as interseções resolvendo sen x = -sen x, que implica sen x = 0. Assim, x = 0, π, 2π. Esses pontos separam onde cada curva está acima da outra.

Passo 3

No trecho [0, π], temos sen x ≥ 0. Então o topo da região é y = sen x e a base é y = -sen x. A área aqui é
integral0^pi l(sin x - (-sin x)r),dx = integral0^pi 2sin x,dx

Passo 4

Calculando essa integral:
integral0^pi 2sin x,dx = 2l[-cos xr]0^pi = 2l(-cospi + cos0r) = 2(1 + 1) = 4

Passo 5

No trecho [π, 2π], sen x ≤ 0. Agora o topo é y = -sen x e a base é y = sen x. A área é
integralpi^2pi l(-sin x - sin xr),dx = integralpi^2pi -2sin x,dx

Passo 6

Calculando essa integral:
integralpi^2pi -2sin x,dx = -2l[-cos xr]pi^2pi = 2l(cos2pi - cospir) = 2(1 - (-1)) = 4

Passo 7

Somando as duas áreas parciais, a área total da região é 4 + 4 = 8. Para esboçar, desenhe sen x de 0 a 2π e sua reflexão -sen x, sombreando a região entre elas.

Resposta

8

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