Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
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Passo 1
Neste exercício, vamos encontrar a área entre as curvas y = sen x e y = sen x no intervalo x ∈ [0, 2π]. O conteúdo é área entre curvas e vamos precisar identificar os pontos de interseção e usar integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, achamos as interseções resolvendo sen x = -sen x, que implica sen x = 0. Assim, x = 0, π, 2π. Esses pontos separam onde cada curva está acima da outra.
Passo 3
No trecho [0, π], temos sen x ≥ 0. Então o topo da região é y = sen x e a base é y = -sen x. A área aqui é
Passo 4
Calculando essa integral:
Passo 5
No trecho [π, 2π], sen x ≤ 0. Agora o topo é y = -sen x e a base é y = sen x. A área é
Passo 6
Calculando essa integral:
Passo 7
Somando as duas áreas parciais, a área total da região é 4 + 4 = 8. Para esboçar, desenhe sen x de 0 a 2π e sua reflexão -sen x, sombreando a região entre elas.
Resposta
8