Calcule as integrais:
integral sin (5 theta) sin (theta) d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral integral sin (5 theta) sin (theta) d theta. Aqui, estamos lidando com o cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar o produto de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o produto de dois senos com a soma de cossenos:
sin A sin B = cos(A - B) - cos(A + B)2
Neste caso, temos A = 5theta e B = theta. Então, substituindo na identidade:
sin(5theta) sin(theta) = cos(5theta - theta) - cos(5theta + theta)2 = cos(4theta) - cos(6theta)2

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sin(5theta) sin(theta) dtheta = integral cos(4theta) - cos(6theta)2 dtheta = 12 integral cos(4theta) dtheta - 12 integral cos(6theta) dtheta

Passo 4

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente:
integral cos(4theta) dtheta = sin(4theta)4 + C
integral cos(6theta) dtheta = sin(6theta)6 + C

Passo 5

Substituindo os resultados das integrais na expressão anterior:
12 cdot sin(4theta)4 - 12 cdot sin(6theta)6 + C = sin(4theta)8 - sin(6theta)12 + C

Resposta

A integral é igual a sin(4theta)8 - sin(6theta)12 + C.

Exercícios relacionados