Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de
para a função dada.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a série de Taylor de
em torno de
usando notação de somatório; vamos precisar da definição da série de Taylor, das derivadas de
e de seus valores em
.
Passo 2
A fórmula geral da série de Taylor de
em torno de
é
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
– ⇒
– ⇒
– ⇒
– ⇒
A partir daí as derivadas se repetem a cada quatro ordens.
–
–
–
–
A partir daí as derivadas se repetem a cada quatro ordens.
Passo 4
Como só as derivadas de ordem ímpar são não nulas, escrevemos
e notamos o padrão
Passo 5
Substituindo na fórmula geral e eliminando termos nulos, ficamos com a soma apenas para
, resultando na série desejada.