Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de x=x0 para a função dada.
cos x ; x0=pi2

Passo 1

O enunciado pede para escrever a série de Taylor de f(x)=cos x em torno de x0=tfracpi2 usando notação de somatório; vamos precisar da definição da série de Taylor, das derivadas de cos x e de seus valores em x=tfracpi2.

Passo 2

A fórmula geral da série de Taylor de f em torno de x0 é
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!,(x-x0)^n

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x)=cos x e avaliá-las em x0=tfracpi2:
f(x)=cos x f(tfracpi2)=0
f'(x)=-sin x f'(tfracpi2)=-1
f''(x)=-cos x f''(tfracpi2)=0
f'''(x)=sin x f'''(tfracpi2)=1
A partir daí as derivadas se repetem a cada quatro ordens.

Passo 4

Como só as derivadas de ordem ímpar são não nulas, escrevemos n=2k+1 e notamos o padrão
f^(2k+1)l(tfracpi2r)=(-1)^k+1, k=0,1,2,dots

Passo 5

Substituindo na fórmula geral e eliminando termos nulos, ficamos com a soma apenas para n=2k+1, resultando na série desejada.

Resposta

cos x=sumk=0^infty(-1)^k+1(2k+1)!,(x-tfracpi2)^2k+1

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