Calcule as integrais
Passo 1
Vamos calcular
. O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para reduzir o expoente e depois uma substituição simples para integrar.
Passo 2
Primeiro, usamos a identidade
para reescrever
. Temos:
$$\cos^3(2x) = \cos(2x)\bigl(\cos^2(2x)\bigr) = \cos(2x)\bigl(1 - \sin^2(2x)\bigr).
$$Assim, a integral fica
$$\int \cos^3(2x),dx = \int \cos(2x)\bigl(1 - \sin^2(2x)\bigr),dx.
$$
Passo 3
Agora fazemos a substituição
. Então
, ou seja,
. Isso simplifica a integral:
$$\int \cos(2x)\bigl(1 - \sin^2(2x)\bigr),dx = \int (1 - u^2)\cdot \tfrac12,du = \tfrac12 \int (1 - u^2),du.
$$
Passo 4
Integramos em
:
$$\tfrac12 \int (1 - u^2),du = \tfrac12\Bigl(u - \tfrac{u^3}{3}\Bigr) + C = \tfrac{u}{2} - \tfrac{u^3}{6} + C.
$$
Passo 5
Por fim, voltamos a variável original
, lembrando que
. Obtém-se:
$$\frac{\sin(2x)}{2} - \frac{\sin^3(2x)}{6} + C.
$$