Calcule as integrais
integral cos ^3(2 x) d x

Passo 1

Vamos calcular integral cos^3(2x),dx. O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para reduzir o expoente e depois uma substituição simples para integrar.

Passo 2

Primeiro, usamos a identidade cos^2theta = 1 - sin^2theta para reescrever cos^3(2x). Temos:
$$\cos^3(2x) = \cos(2x)\bigl(\cos^2(2x)\bigr) = \cos(2x)\bigl(1 - \sin^2(2x)\bigr).
$$Assim, a integral fica
$$\int \cos^3(2x),dx = \int \cos(2x)\bigl(1 - \sin^2(2x)\bigr),dx.
$$

Passo 3

Agora fazemos a substituição u = sin(2x). Então du = 2cos(2x),dx, ou seja, cos(2x),dx = tfrac12,du. Isso simplifica a integral:
$$\int \cos(2x)\bigl(1 - \sin^2(2x)\bigr),dx = \int (1 - u^2)\cdot \tfrac12,du = \tfrac12 \int (1 - u^2),du.
$$

Passo 4

Integramos em u:
$$\tfrac12 \int (1 - u^2),du = \tfrac12\Bigl(u - \tfrac{u^3}{3}\Bigr) + C = \tfrac{u}{2} - \tfrac{u^3}{6} + C.
$$

Passo 5

Por fim, voltamos a variável original x, lembrando que u = sin(2x). Obtém-se:
$$\frac{\sin(2x)}{2} - \frac{\sin^3(2x)}{6} + C.
$$

Resposta

sin(2x)2 - sin^3(2x)6 + C

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