Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral
. Isso envolve técnicas de substituição trigonométrica e integração de funções racionais.
Passo 2
Perceba que temos potências pares de seno e cosseno. Uma forma eficiente é usar a tangente: fazemos a substituição
. Assim,
.
Vamos expressar sinus e cosseno em função de :
Vamos expressar sinus e cosseno em função de
e o diferencial é
. Logo a integral vira
Passo 3
Repare que
Assim a integral se separa em
$$I=\int\frac{dt}{(1+t2)3}-\int\frac{dt}{(1+t2)4}.
$$
Passo 4
Para
, usamos redução: para
E ainda
Logo
Passo 5
Para
, a redução com
dá
Então
Passo 6
Substituindo
e simplificando, chega-se a
Passo 7
Por fim voltamos a
: como
e
, temos a primitiva desejada.