Calcule as integrais
integral sen^2(x+1) cos ^4(x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral sin^2(x+1),cos^4(x+1),dx. Isso envolve técnicas de substituição trigonométrica e integração de funções racionais.

Passo 2

Perceba que temos potências pares de seno e cosseno. Uma forma eficiente é usar a tangente: fazemos a substituição t=tan(x+1). Assim, dt = sec^2(x+1),dx.
Vamos expressar sinus e cosseno em função de t:
sin^2(x+1)=tan^2(x+1)sec^2(x+1)=t^21+t^2, cos^4(x+1)=1sec^4(x+1)=1(1+t^2)^2,
e o diferencial é dx=dtsec^2(x+1)=dt1+t^2. Logo a integral vira
integral sin^2(x+1)cos^4(x+1),dx = integral t^21+t^2cdot1(1+t^2)^2cdotdt1+t^2 = integral t^2(1+t^2)^4,dt

Passo 3

Repare que
t^2(1+t^2)^4 = t^2+1-1(1+t^2)^4 = 1(1+t^2)^3-1(1+t^2)^4
Assim a integral se separa em
$$I=\int\frac{dt}{(1+t2)3}-\int\frac{dt}{(1+t2)4}.
$$

Passo 4

Para A=integral(1+t^2)^-3dt, usamos redução: para n=3
A=t4(1+t^2)^2+34integraldt(1+t^2)^2
E ainda
integraldt(1+t^2)^2=t2(1+t^2)+12arctan t
Logo
A=t4(1+t^2)^2+3t8(1+t^2)+38arctan t

Passo 5

Para B=integral(1+t^2)^-4dt, a redução com n=4
B=t6(1+t^2)^3+56A
Então
I=A-B = A-l(t6(1+t^2)^3+56Ar) =16A-t6(1+t^2)^3

Passo 6

Substituindo A e simplificando, chega-se a
I=t(t^2-3)24(1+t^2)^3+t16(1+t^2)+116arctan t + C

Passo 7

Por fim voltamos a x: como t=tan(x+1) e arctan t=x+1, temos a primitiva desejada.

Resposta

integralsin^2(x+1)cos^4(x+1),dx=tan(x+1)l(tan^2(x+1)-3r)24l(1+tan^2(x+1)r)^3+tan(x+1)16l(1+tan^2(x+1)r)+x+116+C.

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