Sabendo que y = t é uma solução da EDO (1-t^2) y^prime prime+2 t y^prime-2 y=0, *
y=c 1 t-c 2(1-t^2)
y=c 1 t-c 2 t^2
y=c 1 t-c 2(1+t^2)
y=c 1 t+c 2
encontre a solução geral da EDO.

Passo 1

O enunciado dá a equação de 2ª ordem (1 - t^2)y'' + 2t y' - 2y = 0 e já nos diz que uma solução é y1 = t. O objetivo é achar a solução geral usando redução de ordem.

Passo 2

Dividimos a EDO por 1 - t^2 para colocá-la na forma padrão y'' + P(t)y' + Q(t)y = 0:
y'' + 2t1 - t^2,y' - 21 - t^2,y = 0
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P(t)=2t1 - t^2, Q(t)=-21 - t^2

Passo 3

Usamos a fórmula de redução de ordem quando já conhecemos y1:
y2 = y1integral e^-integral P(t),dty1^2,dt
Aqui y1=t e P(t)=2t/(1-t^2).

Passo 4

Calculamos primeiro o expoente:
integral P(t),dt = integral 2t1 - t^2,dt = -lnl(1 - t^2r) + C
Escolhendo a constante zero, fica
e^-integral P(t),dt = e^ln(1 - t^2) = 1 - t^2
Então
y2 = t integral 1 - t^2t^2,dt = t integral l(t^-2 - 1r),dt = tl(-t^-1 - tr) = -1 - t^2
Podemos trocar o sinal e absorver constantes para ter como segunda solução independente 1 + t^2.

Passo 5

A solução geral é combinação linear das duas soluções independentes:
y = C1,t + C2,(1 + t^2)
Escolhendo a notação do enunciado, isso equivale a
y = c1,t - c2,(1 + t^2)

Resposta

y = c_1,t - c_2,(1 + t^2)

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