Calcule as integrais.
integral 5 cos ^4 x sen^5 x d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral integral 5 cos^4 x sin^5 x , dx. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente em integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma substituição e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar um fator de sin x para facilitar a substituição. Reescrevemos a integral assim:
5 integral cos^4 x sin^5 x , dx = 5 integral cos^4 x cdot sin^4 x cdot sin x , dx
Isso ajuda porque agora podemos preparar para usar a substituição.

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica sin^2 x = 1 - cos^2 x para simplificar sin^4 x:
sin^4 x = (sin^2 x)^2 = (1 - cos^2 x)^2
Substituímos isso na integral:
5 integral cos^4 x (1 - cos^2 x)^2 cdot sin x , dx

Passo 4

Vamos fazer a substituição u = cos x. Então, a derivada de u em relação a x é du = -sin x , dx, ou seja, -du = sin x , dx. Substituindo na integral:
5 integral u^4 (1 - u^2)^2 cdot (-du) = -5 integral u^4 (1 - u^2)^2 , du

Passo 5

Agora, expandimos (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Substituindo de volta na integral:
-5 integral u^4 (1 - 2u^2 + u^4) , du = -5 integral (u^4 - 2u^6 + u^8) , du

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
-5 ( u^55 - 2u^77 + u^99 ) + C
Simplificando:
- ( u^5 - 2u^77 + u^99 ) + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u = cos x de volta:
- cos^5 x + 2 cos^7 x7 - cos^9 x9 + C

Resposta

A integral é igual a - cos^5 x + dfrac2 cos^7 x7 - dfraccos^9 x9 + C, onde C é a constante de integração.

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