Considere a função: f(x)=5 xx^2+1
Identifique os pontos críticos, os máximos e mínimos locais.

Passo 1

Temos a função f(x)=5xx^2+1. O objetivo é identificar os pontos críticos e determinar onde ocorrem máximos e mínimos locais. Para isso, vamos precisar calcular a derivada f'(x) e depois analisar onde ela se anula ou muda de sinal.

Passo 2

Usando a regra do quociente, derivamos f(x):
f'(x)=5(x^2+1)-5xcdot2x(x^2+1)^2=5-5x^2(x^2+1)^2=5(1-x^2)(x^2+1)^2

Passo 3

Os pontos críticos surgem onde f'(x)=0 ou é indefinida. Como (x^2+1)^2>0 para todo x, basta zerar o numerador:
5(1-x^2)=0implies x^2=1implies x=pm1

Passo 4

Para classificar, analisamos o sinal de f'(x):
  • Se |x|<1, então 1-x^2>0 e f'(x)>0 (função crescente).
  • Se |x|>1, então 1-x^2<0 e f'(x)<0 (função decrescente).
Logo, em x=-1 a derivada muda de negativa para positiva, indicando mínimo local, e em x=1 muda de positiva para negativa, indicando máximo local. Calculando os valores:
f(-1)=-52, f(1)=52

Resposta

Pontos críticos: x=-1 e x=1.
Mínimo local em x=-1 com f(-1)=-tfrac52.
Máximo local em x=1 com f(1)=tfrac52.

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