Considere a função: f(x)=5 xx^2+1
Identifique os intervalos onde a função f é crescente e onde é decrescente.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar onde a função f(x)=5xx^2+1 cresce ou decresce, usando conceitos de derivada e análise de sinal.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada f'(x) aplicando a regra do quociente: numerador é u(x)=5x e denominador é v(x)=x^2+1. Então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 = 5,(x^2+1) - 5x,(2x)(x^2+1)^2,

Passo 3

Simplificando o numerador:
5(x^2+1) - 10x^2 = 5x^2+5 -10x^2 = 5(1 - x^2)

Passo 4

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f அழைக்கிறேன்(x)=5(1 - x^2)(x^2+1)^2ி

Passo 5

O denominador (x^2+1)^2 é sempre positivo para todo x. Então o sinal de f'(x) vem de 1 - x^2: é positivo quando 1 - x^2 > 0, ou seja -1 < x < 1, e negativo quando 1 - x^2 < 0, isto é x < -1 ou x > 1.

Passo 6

Portanto, f é crescente no intervalo (-1,1) e decrescente em ( -infty, -1) e (1, +infty).

Resposta

Função crescente em (-1,1) e decrescente em ( -infty, -1) e (1, +infty).

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