Dado que r(t)=(t sen t, raiz1-t^2, 2 tt^2-5 t+6), calcule:
r^prime(0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função vetorial r(t) = (t sin t, raiz1-t^2, 2 tt^2-5 t+6) e precisamos encontrar a sua derivada no ponto t = 0, que é r^prime(0). Para isso, vamos usar o conceito de derivada de funções vetoriais, que basicamente envolve derivar cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada componente da função r(t):
r(t) = (r1(t), r2(t), r3(t))
Onde:
  • r1(t) = t sin t
  • r2(t) = raiz1 - t^2
  • r3(t) = 2 tt^2 - 5 t + 6
Nosso objetivo é encontrar a derivada de cada uma dessas componentes em t = 0.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente, r1(t) = t sin t. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que se temos uma função u(t) cdot v(t), a derivada é u^prime(t) v(t) + u(t) v^prime(t).
Então,
r1^prime(t) = ddt(t) cdot sin t + t cdot ddt(sin t) = 1 cdot sin t + t cdot cos t
Agora, avaliamos em t = 0:
r1^prime(0) = sin 0 + 0 cdot cos 0 = 0 + 0 = 0

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente, r2(t) = raiz1 - t^2. Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia. A derivada de raizu é 12raizu cdot u^prime.
Então,
r2^prime(t) = 12raiz1 - t^2 cdot (-2t) = -traiz1 - t^2
Agora, avaliamos em t = 0:
r2^prime(0) = 0raiz1 - 0 = 0

Passo 5

Por fim, vamos para a terceira componente, r3(t) = 2 tt^2 - 5 t + 6. Para derivar essa função, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função u(t)v(t), a derivada é u^prime(t) v(t) - u(t) v^prime(t)[v(t)]^2.
Primeiro, identifiquemos u(t) e v(t):
u(t) = 2t Rightarrow u^prime(t) = 2
v(t) = t^2 - 5t + 6 Rightarrow v^prime(t) = 2t - 5
Agora, aplicamos a regra do quociente:
r3^prime(t) = 2(t^2 - 5t + 6) - 2t(2t - 5)(t^2 - 5t + 6)^2
Simplificando o numerador:
2(t^2 - 5t + 6) - 2t(2t - 5) = 2t^2 - 10t + 12 - 4t^2 + 10t = -2t^2 + 12
Então,
r3^prime(t) = -2t^2 + 12(t^2 - 5t + 6)^2
Agora, avaliamos em t = 0:
r3^prime(0) = -2(0)^2 + 12(0^2 - 5(0) + 6)^2 = 126^2 = 1236 = 13

Resposta

Portanto, a derivada da função vetorial r(t) em t = 0 é:
r^prime(0) = (0, , 0, , 13)

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