Calcule as integrais.
integral cotg^-1(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral cotg^-1(x),dx
que é a primitiva da função inversa da cotangente. O conteúdo principal aqui é usar o método de integração por partes, pois temos um inverso trigonométrico multiplicado por 1.

Passo 2

Em integração por partes, usamos a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhemos
u = cotg^-1(x), dv = dx

Passo 3

Agora calculamos du e v:
v = integral dv = integral dx = x,
e como ddxl(cotg^-1(x)r) = -11+x^2, temos
du = -11+x^2,dx

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral cotg^-1(x),dx = u,v - integral v,du = x,cotg^-1(x) - integral x!l(-11+x^2r),dx
que fica
x,cotg^-1(x) + integral x1+x^2,dx

Passo 5

Para calcular integral x1+x^2,dx, fazemos a substituição
t = 1 + x^2, dt = 2x,dx
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integral x1+x^2,dx = 12integral dtt = 12lnl|tr| + C = 12lnl(1+x^2r) + C

Resposta

boxed integral cotg^-1(x),dx = x,cotg^-1(x) + tfrac12lnl(1+x^2r) + C

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