Sejam
duas funções de classe
definidas no aberto
. Seja
uma região contida em
cuja fronteira é uma curva de Jordan suave por partes. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções
de classe
em um aberto
e uma região
cujo bordo
é uma curva de Jordan suave por partes. Precisamos mostrar que a integral de linha
é igual à integral dupla
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Green no plano.
Passo 2
Identificamos na integral de linha os campos escalares
de modo que
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias para o Teorema de Green:
Logo,
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, temos
Substituindo a expressão que achamos para
, obtém-se exatamente