Sejam u, v: S subset R^2 R duas funções de classe C^2 definidas no aberto S. Seja R uma região contida em S cuja fronteira é uma curva de Jordan suave por partes. Mostre que
ointC u v d x+u v d y=integral duplaR[v(partial upartial x-partial upartial y)+u(partial vpartial x-partial vpartial y)] d x d y.

Passo 1

O enunciado dá duas funções (u,v) de classe C^2 em um aberto SsubsetR^2 e uma região Rsubset S cujo bordo C é uma curva de Jordan suave por partes. Precisamos mostrar que a integral de linha
ointCu v,dx + u v,dy
é igual à integral dupla
integral duplaRl[vl(tfracpartial upartial x-tfracpartial upartial yr)+ul(tfracpartial vpartial x-tfracpartial vpartial yr)r]dx,dy
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Green no plano.

Passo 2

Identificamos na integral de linha os campos escalares
P(x,y)=u(x,y),v(x,y), Q(x,y)=u(x,y),v(x,y),
de modo que
ointCu v,dx + u v,dy = ointCP,dx + Q,dy

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias para o Teorema de Green:
partial Qpartial x =partialpartial x(u,v) =v,partial upartial x+u,partial vpartial x,
partial Ppartial y =partialpartial y(u,v) =v,partial upartial y+u,partial vpartial y
Logo,
partial Qpartial x-partial Ppartial y = vl(tfracpartial upartial x-tfracpartial upartial yr) +ul(tfracpartial vpartial x-tfracpartial vpartial yr)

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, temos
ointCP,dx + Q,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dx,dy
Substituindo a expressão que achamos para partial Q/partial x-partial P/partial y, obtém-se exatamente
ointCu v,dx + u v,dy =integral duplaRl[vl(tfracpartial upartial x-tfracpartial upartial yr) +ul(tfracpartial vpartial x-tfracpartial vpartial yr)r]dx,dy

Resposta

ointCu v,dx + u v,dy =integral duplaRl[vl(tfracpartial upartial x-tfracpartial upartial yr) +ul(tfracpartial vpartial x-tfracpartial vpartial yr)r]dx,dy

Exercícios relacionados