Considere a integral
integral0^infty e^a x sen(x) d x
Usando as técnicas de integração conhecidas, determine para quais valores de a a integral é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral0^infty e^a xsin(x),dx
ou seja, determinar para quais valores de a o limite
limRtoinftyintegral0^Re^a xsin(x),dx
existe finito. O conteúdo envolvido é integração por partes e análise de comportamento assintótico de exponenciais.

Passo 2

Definamos
I(R)=integral0^Re^a xsin(x),dx
Para obter uma fórmula fechada, aplicamos integração por partes duas vezes. Primeiro, escolhemos
u=e^a x, dv=sin(x),dximplies du=a,e^a x,dx, v=-cos(x)
Assim
integral e^a xsin(x),dx =-e^a xcos(x)+aintegral e^a xcos(x),dx
Em seguida, para integral e^a xcos(x),dx usamos
u=e^a x,;dv=cos(x),dximplies du=a,e^a x,dx,;v=sin(x),
resultando em
integral e^a xcos(x),dx =e^a xsin(x)-aintegral e^a xsin(x),dx
Juntando as duas integrais obtemos
(1+a^2)integral e^a xsin(x),dx =e^a x(asin(x)-cos(x)),
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integral e^a xsin(x),dx =e^a x(asin(x)-cos(x))a^2+1+C
Aplicando o limite inferior 0 e superior R
I(R) =[e^a x(asin(x)-cos(x))a^2+1]0^R =e^aR(asin R-cos R)a^2+1+1a^2+1

Passo 3

Para a integral imprópria convergir, o termo
e^aR(asin R-cos R)a^2+1
deve tender a zero quando Rtoinfty. Como sin R e cos R são limitados em módulo por 1, isso exige que
e^aRto0quando Rtoinfty,
o que só ocorre se a<0. Para a>=0 o fator exponencial cresce ou oscila sem amortecer, e a integral diverge.

Resposta

A integral converge somente para a<0.

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