Considere a integral
Usando as técnicas de integração conhecidas, determine para quais valores de
a integral é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
ou seja, determinar para quais valores de
o limite
existe finito. O conteúdo envolvido é integração por partes e análise de comportamento assintótico de exponenciais.
Passo 2
Definamos
Para obter uma fórmula fechada, aplicamos integração por partes duas vezes. Primeiro, escolhemos
Assim
Em seguida, para
usamos
resultando em
Juntando as duas integrais obtemos
logo
Aplicando o limite inferior
e superior
dá
Passo 3
Para a integral imprópria convergir, o termo
deve tender a zero quando
. Como
e
são limitados em módulo por
, isso exige que
o que só ocorre se
. Para
o fator exponencial cresce ou oscila sem amortecer, e a integral diverge.
Resposta
A integral converge somente para
.