Uma função f é dita crescente em um intervalo I, se dados x1, x2 in I, com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2). Se f(x1) <= f(x2), para x1<x2, então f é dita não-decrescente em I.
Uma função f é dita decrescente em um intervalo I, se dados x1, x2 in I, com x1<x2, tivermos f(x1)>f(x2). Se f(x1) >= f(x2), para x1<x2, então f é dita não-crescente em I.
Com base na definição acima, mostre que f(x)=a x+b é crescente, se a>0, e decrescente, se a<0.

Passo 1

O enunciado nos pede para usar a definição de função crescente e decrescente em um intervalo: para x1<x2, dizemos que f é crescente se f(x1)<f(x2) e decrescente se f(x1)>f(x2). Queremos aplicar isso à função linear
f(x)=a,x+b
e determinar para quais sinais de a ela satisfaz cada condição.

Passo 2

Seja x1<x2. Calculamos a diferença
f(x2)-f(x1) =l(a,x2+br)-l(a,x1+br) =a,(x2-x1)
Como x2-x1>0, o sinal de f(x2)-f(x1) é o mesmo do coeficiente a.

Passo 3

Se a>0, então
f(x2)-f(x1)=a,(x2-x1)>0
logo f(x1)<f(x2) e, pelos critérios, f é crescente.
Se a<0, então
f(x2)-f(x1)=a,(x2-x1)<0
logo f(x1)>f(x2) e f é decrescente.

Resposta

A função f(x)=a,x+b é crescente se a>0 e decrescente se a<0.

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