Calcule as integrais:
integral d xraizx^2-2 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral dxraizx^2-2x-1.
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente integrando uma função que envolve uma raiz quadrada de um polinômio de segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e fazer uma substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada completando o quadrado para o termo x^2 - 2x - 1.
x^2 - 2x - 1 = (x - 1)^2 - 2
Explicação: Completar o quadrado significa reescrever a expressão quadrática de uma forma que facilite a integração. Aqui, x^2 - 2x se transforma em (x - 1)^2 - 1, e então subtraímos mais 1 para ajustar a equação original.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x - 1 Rightarrow du = dx
Substituindo na integral original:
integral dxraiz(x - 1)^2 - 2 = integral duraizu^2 - 2

Passo 4

Agora, precisamos integrar integral duraizu^2 - 2. Essa é uma integral padrão que usamos uma fórmula específica:
integral duraizu^2 - a^2 = ln|u + raizu^2 - a^2| + C
Explicação: Essa fórmula é útil para integrais que envolvem a raiz quadrada de uma expressão quadrática. Aqui, a^2 = 2, então a = raiz2.

Passo 5

Aplicando a fórmula na nossa integral:
integral duraizu^2 - 2 = ln|u + raizu^2 - 2| + C
Agora, substituímos u de volta em termos de x:
ln|x - 1 + raiz(x - 1)^2 - 2| + C

Resposta

A integral de integral dxraizx^2-2x-1 é igual a:
ln|x - 1 + raiz(x - 1)^2 - 2| + C
onde C é a constante de integração.

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