Qual a equação do plano tangente à superfície z=e^wed>= x-y-2 no ponto (0,-2,1) ?
Escolha uma opção:
a. x-z-1=0
b. x-y-z-1=0
c. x-y-z=0
d. -2 x+z+3=0
e. x-z+3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre encontrar a equação do plano tangente à superfície $ z = e^{x} - y - 2 $ no ponto z = e^x - y - 2 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície em relação a cada variável. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a função que define a superfície. Aqui, a função é:
z = f(x, y) = e^x - y - 2
Nossa meta é encontrar o plano que “toca” essa superfície exatamente no ponto dado e tem a mesma inclinação da superfície nesse ponto.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, usamos as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções $ x $ e $ y $.
Vamos calcular:
f
x

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto (0, -2):
fx(0, -2) = e^0 = 1
fy(0, -2) = -1
Esses valores representam as inclinações da superfície nas direções $ x $ e $ y $ no ponto específico.

Passo 5

Com as derivadas calculadas, usamos a fórmula do plano tangente:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z - 1 = 1 cdot (x - 0) + (-1) cdot (y - (-2))
z - 1 = x - (y + 2)

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
z - 1 = x - y - 2
z = x - y - 1
Rearranjando para a forma padrão:
x - y - z - 1 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é $ x - y - z - 1 = 0 $, que corresponde à opção b.

Exercícios relacionados