Qual a equação do plano tangente à superfície
no ponto
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre encontrar a equação do plano tangente à superfície $ z = e^{x} - y - 2 $ no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície em relação a cada variável. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a função que define a superfície. Aqui, a função é:
Nossa meta é encontrar o plano que “toca” essa superfície exatamente no ponto dado e tem a mesma inclinação da superfície nesse ponto.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, usamos as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções $ x $ e $ y $.
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Esses valores representam as inclinações da superfície nas direções $ x $ e $ y $ no ponto específico.
Passo 5
Com as derivadas calculadas, usamos a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Rearranjando para a forma padrão:
Resposta
A equação do plano tangente é $ x - y - z - 1 = 0 $, que corresponde à opção b.