Calcule as integrais:
integral (x+3) d xraiz4 x^2+4 x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral integral (x + 3) , dxraiz4x^2 + 4x + 3. Isso envolve conhecimentos de integração por substituição e completar o quadrado. Vamos precisar reorganizar a expressão no denominador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador: 4x^2 + 4x + 3. Para simplificar, vamos completar o quadrado nessa expressão.
Começamos isolando os termos que envolvem x:
4x^2 + 4x = 4(x^2 + x)
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses:
x^2 + x = (x + 12)^2 - 14
Então, substituindo de volta:
4((x + 12)^2 - 14) + 3 = 4(x + 12)^2 - 1 + 3 = 4(x + 12)^2 + 2
Agora, nosso denominador fica:
raiz4(x + 12)^2 + 2

Passo 3

Vamos facilitar a integral fazendo uma substituição. Seja:
t = x + 12 Rightarrow dx = dt
Substituindo na integral:
integral (t - 12 + 3) , dtraiz4t^2 + 2 = integral t + 52raiz4t^2 + 2 , dt
Agora, a integral ficou dividida em duas partes:
integral traiz4t^2 + 2 , dt + 52 integral 1raiz4t^2 + 2 , dt

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira Integral:
integral traiz4t^2 + 2 , dt
Aqui, usamos a substituição direta:
u = 4t^2 + 2 Rightarrow du = 8t , dt Rightarrow du8 = t , dt
Então:
integral traiz4t^2 + 2 , dt = 18 integral duraizu = 18 cdot 2raizu + C = 14 raiz4t^2 + 2 + C
Segunda Integral:
52 integral 1raiz4t^2 + 2 , dt
Aqui, fazemos uma substituição trigonométrica. Primeiro, fatoramos:
raiz4t^2 + 2 = raiz2(2t^2 + 1) = raiz2 raiz2t^2 + 1
Então, a integral fica:
52 cdot 1raiz2 integral dtraiz2t^2 + 1 = 52raiz2 cdot sinh^-1(t raiz2) + C
Ou, usando logaritmo:
52raiz2 ln| traiz2 + raiz2t^2 + 1 | + C

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes e substituímos t de volta para x:
t = x + 12
Então, a solução completa fica:
14 raiz4(x + 12)^2 + 2 + 52raiz2 ln| (x + 12)raiz2 + raiz4(x + 12)^2 + 2 | + C

Resposta

integral (x + 3) , dxraiz4x^2 + 4x + 3 = 14 raiz4(x + 12)^2 + 2 + 52raiz2 ln| (x + 12)raiz2 + raiz4(x + 12)^2 + 2 | + C

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