Calcule as integrais:
integral 3 d xx^2-6 x+18

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 3 , dxx^2-6x+18. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais de funções racionais, ou seja, funções que são divididas por polinômios. Para resolver, vamos precisar usar completar o quadrado no denominador e aplicar a fórmula da integral do tipo integral dxx^2 + a^2.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 - 6x + 18. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de forma que fique fácil de integrar.
Para completar o quadrado na expressão x^2 - 6x, seguimos esses passos:
  1. Pegamos o coeficiente de x, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: (-62)^2 = 9
  2. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da expressão: x^2 - 6x + 9 - 9 + 18 = (x - 3)^2 + 9
Agora, o denominador fica (x - 3)^2 + 9.

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral 3 , dx(x - 3)^2 + 9
Podemos factorar o 3 que está no numerador:
3 integral dx(x - 3)^2 + 9
Observamos que temos uma integral da forma integral dx(x - a)^2 + b^2, cuja solução é:
1b arctan(x - ab) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Identificando os valores de a e b na nossa integral:
a = 3 e b = 3
Aplicando a fórmula:
3 cdot ( 13 arctan(x - 33) ) + C

Resposta

Simplificando, a integral é:
arctan(x - 33) + C

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