Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
. O conteúdo principal aqui é a técnica de decomposição em frações parciais para funções racionais, bem como as antiderivadas de potências e da função
.
Passo 2
Começamos escrevendo uma decomposição em frações parciais do tipo:
Multiplicamos ambos os lados por
$$
1 = A,x(x^2+4) + B(x^2+4) + (Cx+D)x^2.
1 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + 4A,x + 4B.
$$
Passo 3
Igualamos coeficientes de cada potência de
:
- Para
: $A + C = 0 - Para
: $B + D = 0 - Para
: $4A = 0 - Para termo constante:
Dessas equações saem:, , e .
Passo 4
Substituindo esses valores na integral, temos:
Agora dividimos em duas integrais conhecidas:
Calculando cada uma:
Passo 5
Portanto a antiderivada fica:
Simplificando:
Resposta
-\tfrac{1}{4x} - \tfrac{1}{8}\arctan\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr) + C