Calcule as integrais:
integral d xx^2(x^2+4)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral integraldxx^2(x^2+4). O conteúdo principal aqui é a técnica de decomposição em frações parciais para funções racionais, bem como as antiderivadas de potências e da função arctan.

Passo 2

Começamos escrevendo uma decomposição em frações parciais do tipo:
1x^2(x^2+4) = Ax + Bx^2 + Cx+Dx^2+4
Multiplicamos ambos os lados por x^2(x^2+4) e obtemos:
$$
1 = A,x(x^2+4) + B(x^2+4) + (Cx+D)x^2.
1 = A,x(x^2+4) + B(x^2+4) + (Cx+D)x^2
1 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + 4A,x + 4B.
$$

Passo 3

Igualamos coeficientes de cada potência de x:
  • Para x^3: $A + C = 0
  • Para A + C = 0 - Para : $B + D = 0
  • Para : : $4A = 0
  • Para termo constante: x^1
    Dessas equações saem: 4A = 0 - Para termo constante: , Dessas equações saem: , , e , .

Passo 4

Substituindo esses valores na integral, temos:
integraldxx^2(x^2+4) = integrall(14x^2 - 14(x^2+4)r)dx
Agora dividimos em duas integrais conhecidas:
14integral x^-2dx - 14integraldxx^2+4
Calculando cada uma:
  • integral x^-2dx = -x^-1 + C1
  • integraldxx^2+4 = 12arctanl(x2r) + C2

Passo 5

Portanto a antiderivada fica:
14(-x^-1) - 14cdot12arctanl(x2r) + C
Simplificando: -tfrac14x - tfrac18arctan(tfracx2) + C.

Resposta

-\tfrac{1}{4x} - \tfrac{1}{8}\arctan\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr) + C

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