Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
f(x, y)=x e^(x^2+y^2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y)=x e{(x2+y^2)}. O conteúdo aqui é derivadas parciais, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para lidar com o expoente.

Passo 2

Para calcular ∂f/∂x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto em x·e{(x2+y^2)}. A derivada de x é 1 e a derivada de e{(x2+y^2)} é e{(x2+y^2)}·2x pela regra da cadeia. Assim,
partial fpartial x=1cdot e^x^2+y^2+xcdot e^x^2+y^2cdot 2x=e^x^2+y^2+2x^2e^x^2+y^2=e^x^2+y^2(1+2x^2)
Para calcular ∂f/∂y, tratamos x como constante e só derivamos o fator e{(x2+y^2)} em relação a y. A derivada de e{(x2+y^2)} é e{(x2+y^2)}·2y pela regra da cadeia, então:
partial fpartial y=xcdot e^x^2+y^2cdot 2y=2xy,e^x^2+y^2

Resposta

fx(x,y)=e^x^2+y^2(1+2x^2), fy(x,y)=2xy,e^x^2+y^2

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