Calcule as integrais.
integral dupla sen(x^2-4 y^2) dx dy, R é a região delimitada por x^2+4 y^2 <= 1.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral dupla de sin(x^2 - 4y^2) sobre a região R delimitada pela equação x^2 + 4y^2 <= 1. Vamos resolver isso usando uma mudança de coordenadas adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região R. A equação x^2 + 4y^2 <= 1 descreve uma elipse centrada na origem. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforme essa elipse em um círculo unitário. Podemos fazer isso definindo:
u = x
v = 2y
Com essa substituição, a desigualdade da região fica:
u^2 + v^2 <= 1
Isso representa um círculo de raio 1 no plano uv.

Passo 3

Agora, precisamos expressar a função integranda sin(x^2 - 4y^2) em termos das novas variáveis u e v. Substituindo:
x = u
y = v2
Então:
x^2 - 4y^2 = u^2 - 4(v2)^2 = u^2 - v^2
Portanto, a função integranda se torna sin(u^2 - v^2).

Passo 4

Precisamos também calcular o determinante jacobiano da transformação para ajustar a área de integração. O jacobiano J é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 1 & 0 0 & 12 = 12
Então, o diferencial de área se transforma como dx,dy = 12 du,dv.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral dupla na nova coordenada:
integral duplaR sin(x^2 - 4y^2) , dx,dy = integral duplau^2 + v^2 <= 1 sin(u^2 - v^2) cdot 12 , du,dv
= 12 integral duplau^2 + v^2 <= 1 sin(u^2 - v^2) , du,dv

Passo 6

Observamos que a função sin(u^2 - v^2) é uma função ímpar em relação a u e v sobre uma região simétrica centrada na origem. Isso significa que para cada (u, v), existe um (-u, v) que cancela o valor da função, e o mesmo vale para (u, -v). Portanto, a integral sobre a região inteira será zero devido à simetria.

Resposta

A integral dupla é igual a zero.

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