Calcule as integrais. , R é a região delimitada por .
Passo 1
Então, temos que calcular a integral dupla de sobre a região delimitada pela equação . Vamos resolver isso usando uma mudança de coordenadas adequada para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região . A equação descreve uma elipse centrada na origem. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforme essa elipse em um círculo unitário. Podemos fazer isso definindo:
Com essa substituição, a desigualdade da região fica:
Isso representa um círculo de raio 1 no plano .
Passo 3
Agora, precisamos expressar a função integranda em termos das novas variáveis e . Substituindo:
Então:
Portanto, a função integranda se torna .
Passo 4
Precisamos também calcular o determinante jacobiano da transformação para ajustar a área de integração. O jacobiano é dado por:
Então, o diferencial de área se transforma como dx,dy = 12 du,dv.
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral dupla na nova coordenada:
Observamos que a função sin(u^2 - v^2) é uma função ímpar em relação a u e v sobre uma região simétrica centrada na origem. Isso significa que para cada (u, v), existe um (-u, v) que cancela o valor da função, e o mesmo vale para (u, -v). Portanto, a integral sobre a região inteira será zero devido à simetria.