Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral iterada
que define a metade direita do disco de raio 2. Vamos usar coordenadas polares para simplificar a região e o integrando.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos as substituições
O integrando fica
e com o Jacobiano temos um fator extra
, totalizando
.
Passo 3
A região é o semicírculo de raio 2 com
, isto é
Logo a integral vira
Passo 4
Agora separamos em parte radial e parte angular:
Passo 5
Calculando a parte radial:
Passo 6
Calculando a parte angular. Primeiro note que
. Assim
Como a função é par,