Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
integral0^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 x^2 y^2 d y d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral iterada
integral0^2integral-raiz4 - x^2^raiz4 - x^2 x^2y^2,dy,dx
que define a metade direita do disco de raio 2. Vamos usar coordenadas polares para simplificar a região e o integrando.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos as substituições
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
O integrando fica
x^2y^2 = (rcostheta)^2(rsintheta)^2 = r^4cos^2theta,sin^2theta
e com o Jacobiano temos um fator extra r, totalizando r^5cos^2thetasin^2theta.

Passo 3

A região é o semicírculo de raio 2 com x>=0, isto é
0<= r<= 2, -tfracpi2<=theta<= tfracpi2
Logo a integral vira
integraltheta=-pi/2^pi/2integralr=0^2 r^5cos^2thetasin^2theta,dr,dtheta

Passo 4

Agora separamos em parte radial e parte angular:
l(integral0^2 r^5,drr) times l(integral-pi/2^pi/2 cos^2thetasin^2theta,dthetar)

Passo 5

Calculando a parte radial:
integral0^2 r^5,dr = l[tfracr^66r]0^2 = tfrac2^66 = tfrac646 = tfrac323

Passo 6

Calculando a parte angular. Primeiro note que cos^2thetasin^2theta=tfrac14sin^2(2theta). Assim
integral-pi/2^pi/2 cos^2thetasin^2theta,dtheta = tfrac14integral-pi/2^pi/2 sin^2(2theta),dtheta
Como a função é par,
= tfrac12integral0^pi/2 sin^2(2theta),dtheta = tfrac12cdottfracpi4 = tfracpi8

Resposta

4pi3

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