Utilizando o método dos coeficientes indeterminados, determine uma solução particular das seguintes E.D.Os não-homogêneas:
y^prime prime+2 y^prime+y=sen(2 x)+3 cos (2 x)

Passo 1

Temos a equação diferencial y''+2y'+y=sin(2x)+3cos(2x). O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes não-homogênea, e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Como o termo não-homogêneo é uma combinação de sin(2x) e cos(2x), fazemos o palpite (ansatz)
yp(x)=Asin(2x)+Bcos(2x)
onde A e B são constantes a determinar. Note que nem sin(2x) nem cos(2x) aparecem na solução da homogênea, então esse é um palpite válido.

Passo 3

Calculamos as derivadas do palpite:
yp'(x)=2Acos(2x)-2Bsin(2x),
yp''(x)=-4Asin(2x)-4Bcos(2x)
Substituindo em y''+2y'+y e agrupando termos, obtemos
yp''+2yp'+yp =(-3A-4B)sin(2x)+(4A-3B)cos(2x)

Passo 4

Para que isso seja igual a sin(2x)+3cos(2x), igualamos coeficientes:
-3A-4B=1, 4A-3B=3
Resolvendo esse sistema, achamos A=9/25 e B=-13/25.

Resposta

yp(x)=925sin(2x)-1325cos(2x)

Exercícios relacionados