Calcule as integrais.
, R é o retângulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla
sobre o retângulo onde
e
. Isso significa que vamos somar os valores da função
nessa região retangular. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função com duas variáveis em relação a uma delas de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos decidir a ordem de integração. Podemos integrar em relação a
primeiro ou em relação a
primeiro. Vamos optar por integrar em relação a
primeiro porque parece mais simples. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna, que é
. Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe
, então
, ou seja,
. Isso simplifica a integral para:
Agora, substituímos os limites de integração:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3: