Calcule as integrais.
integral dupla x e^x y dx dy, R é o retângulo 1 <= x <= 3,0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla integral dupla x e^xy , dx , dy sobre o retângulo onde 1 <= x <= 3 e 0 <= y <= 1. Isso significa que vamos somar os valores da função x e^xy nessa região retangular. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função com duas variáveis em relação a uma delas de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir a ordem de integração. Podemos integrar em relação a y primeiro ou em relação a x primeiro. Vamos optar por integrar em relação a y primeiro porque parece mais simples. Então, nossa integral fica:
integralx=1^3 ( integraly=0^1 x e^xy , dy ) dx

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é integraly=0^1 x e^xy , dy. Aqui, x é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a y. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe u = xy, então dudy = x, ou seja, du = x , dy. Isso simplifica a integral para:
integral e^u , du = e^u + C = e^xy + C
Agora, substituímos os limites de integração:
e^x cdot 1 - e^x cdot 0 = e^x - 1
Então, a integral interna resulta em e^x - 1.

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralx=1^3 (e^x - 1) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral e^x , dx - integral 1 , dx = e^x - x + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
( e^3 - 3 ) - ( e^1 - 1 ) = e^3 - 3 - e - 1 = e^3 - e - 4

Resposta

e^3 - e - 4

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