Esborçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar a região onde vamos integrar e depois calcular uma integral dupla. Estamos lidando com cálculo integral múltiplo, que é uma ferramenta para encontrar áreas, volumes e outras grandezas em regiões bidimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração dados e como aplicar as integrais iteradas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral é da seguinte forma:
Aqui, a integração interna é em relação a $ y $ e vai de $ 0 $ até $ x+1 $. A integração externa é em relação a $ x $ e vai de $ -1 $ até $ 2 $. Para esboçar a região de integração, vamos plotar esses limites no plano $ xy $.
Passo 3
Vamos desenhar a região de integração:
- O eixo $ x $ vai de $ -1 $ a $ 2 $.
- Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ x + 1 $.
Isso significa que a fronteira superior da região é a reta $ y = x + 1 $, e a fronteira inferior é $ y = 0 $ (o eixo $ x $). Então, nossa região é um trapézio inclinado.
Passo 4
Agora que entendemos a região, vamos configurar e calcular a integral iterada. Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Como $ x^{2} $ é constante em relação a $ y $, a integral fica:
Então, nossa integral simplificada é:
Passo 5
Agora, vamos expandir e integrar em relação a $ x $:
Primeiro, expandimos $ x^{2} (x + 1) $:
Então, a integral passa a ser:
Calculamos cada parte:
Aplicando os limites de $ -1 $ a $ 2 $:
Resposta
A integral dupla vale $ \frac{27}{4} $.