Esborçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
integral-1^2 integral0^x+1(x^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar a região onde vamos integrar e depois calcular uma integral dupla. Estamos lidando com cálculo integral múltiplo, que é uma ferramenta para encontrar áreas, volumes e outras grandezas em regiões bidimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração dados e como aplicar as integrais iteradas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral é da seguinte forma:
integral-1^2 integral0^x+1 x^2 , dy , dx
Aqui, a integração interna é em relação a $ y $ e vai de $ 0 $ até $ x+1 $. A integração externa é em relação a $ x $ e vai de $ -1 $ até $ 2 $. Para esboçar a região de integração, vamos plotar esses limites no plano $ xy $.

Passo 3

Vamos desenhar a região de integração:
  1. O eixo $ x $ vai de $ -1 $ a $ 2 $.
  2. Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ x + 1 $.
Isso significa que a fronteira superior da região é a reta $ y = x + 1 $, e a fronteira inferior é $ y = 0 $ (o eixo $ x $). Então, nossa região é um trapézio inclinado.

Passo 4

Agora que entendemos a região, vamos configurar e calcular a integral iterada. Primeiro, integramos em relação a $ y $:
y
Como $ x^{2} $ é constante em relação a $ y $, a integral fica:
integral0^x+1 x^2 , dy
Então, nossa integral simplificada é:
x^2

Passo 5

Agora, vamos expandir e integrar em relação a $ x $:
Primeiro, expandimos $ x^{2} (x + 1) $:
x
Então, a integral passa a ser:
x^2 (x + 1)
Calculamos cada parte:
x^2 cdot x + x^2 cdot 1 = x^3 + x^2
Aplicando os limites de $ -1 $ a $ 2 $:
integral-1^2 (x^3 + x^2) , dx

Resposta

A integral dupla vale $ \frac{27}{4} $.

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