Calcule as integrais.
h)
onde
.
h)
Passo 1
Nesse exercício vamos calcular a integral dupla de
sobre a região
definida por
. O conteúdo é integrais duplas em
e precisaremos caracterizar geometricamente
, para depois usar propriedades de centroide ou mudar de coordenadas.
Passo 2
Começando por entender
, escrevemos a inequação em forma de quadrado completo:
$$
x^2 + y^2 - x \le 0
$$
$$
x^2 - x + y^2 \le 0
$$
$$
(x - \tfrac12)^2 - \tfrac14 + y^2 \le 0
$$
$$
(x - \tfrac12)^2 + y^2 \le \tfrac14
$$
Isso mostra que
é o disco de raio
centrado em
.
Passo 3
Para integrar
sobre esse disco de densidade constante, usamos o fato de que
Aqui o centroide em
é
e a área do disco é
. Logo,
Resposta
(\frac{\pi}{8})