Calcule as integrais.
h) integral duplaD x d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2-x <= 0.

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a integral dupla de x sobre a região D definida por x^2+y^2-x<=0. O conteúdo é integrais duplas em R^2 e precisaremos caracterizar geometricamente D, para depois usar propriedades de centroide ou mudar de coordenadas.

Passo 2

Começando por entender D, escrevemos a inequação em forma de quadrado completo:
$$
x^2 + y^2 - x \le 0
$$
$$
x^2 - x + y^2 \le 0
$$
$$
(x - \tfrac12)^2 - \tfrac14 + y^2 \le 0
$$
$$
(x - \tfrac12)^2 + y^2 \le \tfrac14
$$
Isso mostra que x^2 + y^2 - x <= 0 é o disco de raio x^2 - x + y^2 <= 0 centrado em (x - tfrac12)^2 - tfrac14 + y^2 <= 0 .

Passo 3

Para integrar x sobre esse disco de densidade constante, usamos o fato de que
integral duplaD x,dA = xcentroide times área(D) á
Aqui o centroide em x é xcentroide=tfrac12 e a área do disco é pi(tfrac12)^2=tfracpi4. Logo,
integral duplaD x,dx,dy = l(tfrac12r)times tfracpi4 = tfracpi8

Resposta

(\frac{\pi}{8})

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