O2 - DETERMIHE SE OS SEGUINTES CAMPOS VETORIAIS SĀO CONSERVATIVOS OU NÄO.
SE FOR CONSERVATIVO, DETERMINE UMA FUNGĀO POTENCIAL f.
(b) F(x, y, z)=x y^2 z^3 i+2 x^2 y z^3 j+3 x^2 y^2 z^2 k

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z)=x y^2 z^3,vec i+2x^2y z^3,vec j+3x^2y^2z^2,vec k. O domínio é R^3, que é simplesmente conexo e sem singularidades. Para saber se é conservativo, vamos verificar se o rotor de F é zero, pois em domínios simplesmente conexos vale: F é conservativo se e somente se nablatimes F=0.

Passo 2

Definimos as componentes
P(x,y,z)=x y^2 z^3, Q(x,y,z)=2x^2y z^3, R(x,y,z)=3x^2y^2z^2
O rotor é
nablatimes F=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Calculando as derivadas relevantes:
partial Rpartial y=6x^2y z^2, partial Qpartial z=6x^2y z^2, partial Ppartial z=3x y^2 z^2, partial Rpartial x=6x y^2 z^2
Assim
(nablatimes F)y=partial Ppartial z-partial Rpartial x=3x y^2 z^2-6x y^2 z^2=-3x y^2 z^2neq0

Passo 3

Como o rotor de F não é o vetor nulo em geral, concluímos que F não é conservativo. Logo não existe função potencial f tal que nabla f=F.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo e não há função potencial.

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