Calcule as integrais triplas:
e) integral triplaD y d x d y d z onde D é o conjunto x^2+4 y^2 <= 1,0 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaD y,dx,dy,dz, onde D = (x,y,z)mid x^2 + 4y^2 <= 1,,0<= z<=1. O conteúdo é integral tripla e vamos usar a ideia de simetria de domínio para funções ímpares.

Passo 2

Vamos descrever o conjunto D. Para cada z em [0,1], a seção em xy é a elipse E:,x^2+4y^2<=1. Essa elipse é simétrica em relação ao eixo y=0, ou seja, para cada y existe -y com mesma medida.
Ao escrever a integral por separação, temos:
integral triplaD y,dx,dy,dz = integralz=0^1 gl(integral duplaE y,dx,dygr) dz

Passo 3

Na integral dupla integral duplaE y,dx,dy, o integrando y é uma função ímpar de y e o domínio E é simétrico em y=0. Por isso, essa integral dupla é zero.
Como o fator em z apenas multiplica por integral0^1 dz = 1, o valor total da integral tripla também é zero.

Resposta

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