Calcule as integrais:
integral duplaD x y raizx^2+y^2 d A, em que D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaD x y raizx^2+y^2 , dA, onde D é o retângulo 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 4. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e talvez usar substituição para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir a ordem de integração. Vou integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Então, reescrevemos a integral assim:
integralx=0^1 ( integraly=0^4 x y raizx^2+y^2 , dy ) dx

Passo 3

Vamos focar na integral interna: integral0^4 x y raizx^2+y^2 , dy. Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Vamos deixar u = x^2 + y^2, então a derivada de u em relação a y é du = 2y , dy, ou seja, y , dy = du2. Substituindo na integral:
integral x y raizx^2+y^2 , dy = x integral raizu cdot du2 = x2 integral u^1/2 , du
Integrando u^1/2:
x2 cdot 23 u^3/2 = x3 u^3/2 + C
Voltando para u = x^2 + y^2:
x3 (x^2 + y^2)^3/2 |0^4 = x3 [ (x^2 + 16)^3/2 - x^3 ]

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 x3 [ (x^2 + 16)^3/2 - x^3 ] dx = 13 integral0^1 x (x^2 + 16)^3/2 , dx - 13 integral0^1 x^4 , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.
Para a primeira integral, fazemos outra substituição: deixe v = x^2 + 16, então dv = 2x , dx, ou seja, x , dx = dv2. Assim:
13 integral x (x^2 + 16)^3/2 , dx = 13 cdot 12 integral v^3/2 , dv = 16 cdot 25 v^5/2 = 115 v^5/2 + C
Voltando para v = x^2 + 16 e aplicando os limites de 0 a 1:
115 [ (1 + 16)^5/2 - (0 + 16)^5/2 ] = 115 [ 17^5/2 - 16^5/2 ]
Para a segunda integral:
-13 integral0^1 x^4 , dx = -13 cdot 15 x^5 |0^1 = -115

Passo 5

Agora, juntando tudo:
115 ( 17^5/2 - 16^5/2 ) - 115 = 17^5/2 - 16^5/2 - 115

Resposta

A integral dupla vale dfrac17^5/2 - 16^5/2 - 115.

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