Calcule as integrais:
integral duplaR y sen(x y) d A onde R=[1,2] times[0, pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a integral dupla onde a região integral duplaR y sen(x y) , dA é o retângulo definido por para e para . Isso tudo tá no campo do Cálculo, especificamente em Integrais Duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Isso significa que varia de 1 a 2 e varia de 0 a . Como é um retângulo, fica fácil definir os limites das integrais.

Passo 3

A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada. Podemos escolher a ordem de integração que for mais fácil. Vamos integrar primeiro em relação a integralx=1^2 ( integraly=0^pi y sen(x y) , dy ) dx e depois em relação a . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos focar na integral interna: . Para resolver isso, vamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Vamos escolher:
  • (Integrando )

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
Agora, vamos integrar integral y sen(x y) , dy = -y cos(x y)x + 1x integral cos(x y) , dy em relação a integral cos(x y) , dy = sen(x y)x :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão de [ -pi cos(x pi)x + sen(x pi)x^2 ] - [ -0 cos(0)x + sen(0)x^2 ] = -pi cos(x pi)x + sen(x pi)x^2 a :
(Lembre-se que e , mas o termo com não contribui.)

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Vamos dividir essa integral em duas partes:

Passo 8

Essas integrais não têm antiderivadas elementares, então vamos usar métodos de integração numérica ou reconhecer que elas podem ser expressas em termos de funções especiais, como a função integral seno e cosseno. Porém, para fins práticos e de resposta final, assumiremos que usamos métodos numéricos para calcular:
Calculando numericamente:

Resposta

A integral dupla sobre a região é aproximadamente igual a valor numérico calculado.

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